Вопрос 1. Найдите объем треугольной пирамиды (симплекса) с вершинами

в точках А, В, С, Д, с координатами

(0,0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 3), (2, -1, 5).

2 Найдите вектор, ортогональный векторам АВ и СД из предыдущей задачи.

3. (Задача повышенной трудности для студентов with slightly turned minds).

Космонавт Ион Тихий в 2045 году прибыл в Империю Клингонов,

чтобы заключить мирный договор между Империей и Землей.

Империя расположена в 26- мерном пространстве в окрестности галактики Андромеды.

Столица Империи занимает параллелепипед, построенный на векторах

a_1, a_2, a_3, …. , a_{24 ,} a_25, a ₂₆

Клингоны попросили подсчитать занимаемый столицей 26 –мерный объем.

Космонавт вспомнил лекции одного профессора, которые он слушал в

молодости, и с блеском решил проблему. Как он это сделал?

Оцените время подсчета, если компьютер космонавта имел быстродействие

1 миллиард операций в секунду.

Это парадоксально, но следующая задача практически важна.

Точно также, как прямые и плоскости, мы могли бы исследовать 25 - мерные гиперплоскости в воображаемом 26- мерном пространстве. Если читатель понял это замечание после чтения раздела о прямой и плоскости, и после

чтения раздела о векторных пространствах, пусть он попробует решить следующую задачу.

Император Клингонов потребовал вывести уравнение 25-мерной гиперплоскости, разделяющей столицу пополам перпендикулярно Проспекту Властной Вертикали.

Этот проспект направлен, в центральной клингонской системе координат, вдоль вектора с координатами (1, 1, 1, …, 1) . (26 единиц подряд). Йон Тихий решил и эту проблему. Каково же уравнение гиперплоскости?

Варианты контрольной работы

V1

1. Даны точки на плоскости А(1;1) , В(1; 5), С (3;2). Найти площадь треугольника

с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра m векторы i + m j –k и mi - 5k

перпендикулярны?

3 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;1;0) , В(1; 5;1), С (3,2;1).

4 Найти расстояние от точки М(1; 3) до прямой, определенной уравнением

3 x + 4 y =5

5 При каком значении параметра m векторное произведение

векторов i + m j –k и mi - 5k параллельно вектору j?

V2

1. Даны точки А(1;1) , В(1; 5), С (3;2). . Найти координаты пересечения медиан треугольника с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра m длина векторного произведения векторов i + m j –k ,

2mi - 5k

равна скалярному произведению векторов i - j, j –k?

3 Лежат ли точки А(1;1;0) , В(1; 0;1), С (3,0;1).

и D(3,2;1) в одной плоскости?

4 Найти расстояние от точки М(1; 3; 0) до плоскости, определенной уравнением

3 x + 3 y -z =5

5 Cоставить уравнение плоскости проходящей через точку М(1; 1;1)

и перпендикулярной вектору i + j + k .

V3

1. Даны точки А(1;1; 7) , В(1; 5; 3), С (3;2;0). Найти площадь треугольника

с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра m векторы i + m j –k и 2mi - 5k

имеют одинаковую длину ?

3 Лежат ли точки А(1;1;0) , В(1; 0;1), С (3,0;1).

и D (3,2;1) в одной плоскости?

4 Найти расстояние от точки М(1; 3; 0) до плоскости, определенной уравнением

3 x + 3 y -z =5

5 Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1;1)

и перпендикулярной вектору i + 4 j –k

V4

1. Даны точки А(1;7) , В(1; 5), С (3;2). Найти высоту АЕ треугольника

с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра m векторы i + m j –k и 2mi - 5k

антипараллельны?

3 Лежат ли точки А(1;1;0) , В(1; 0;4), С (3,0;1).

и D (6,2;1) в одной плоскости?

4 Найти расстояние от точки М(1; 0; 4) до плоскости, определенной уравнением

3 x + 3 y =5

5 Cоставить уравнение плоскости проходящей через точку М(1; 1;1)

и перпендикулярной вектору i + 2 j –k

V5

1. Даны точки А(1;0) , В(1; 5), С (0;2). Найти высоту АЕ треугольника

с вершинами в этих точках

2 Найти угол между векторами i + j –k и 2i - 5k .

3 Лежат ли точки А(1;1) , В(1; 0), С (3,0) на одной прямой?

4 Найти расстояние от точки М(1; 0; 4) до плоскости, определенной уравнением 3 x + 3 y =5

5 Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 2;3) и перпендикулярной вектору i + j –k

^V6

1. Даны точки А(1;0) , В(1; 5), С (0;2). Найти высоту АЕ треугольника

с вершинами в этих точках

2 Найти cos угла между плоскостями

x + y - z=0

и

x - y + 2z=0

3 Лежат ли точки А(1;1) , В(1; 0), С (3,5) на одной прямой?

4 Найти расстояние от точки М(1; 0) до прямой, определенной уравнением

3 x + 3 y =5

5 Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 2;3)

В(0; 2;3) , С (0; 0;1)

V7

1. Даны точки на плоскости А(1;1) , В(1; 5), С (3;2). Найти площадь треугольника

с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра m векторы i + m j –k и mi - 5k

параллельны?

3 Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1;1) , В(1; 5).

4 Найти расстояние от точки М(0; 3) до прямой, определенной уравнением

3 x – y =5

5 Параллельны ли плоскости

x - y + z =5

и

x + z =3

V8

1. Даны точки А(1;2;0) , В(1; 0; 1), С (3;2;1 ), Д (3;0;0 ). Найти объем пирамиды

с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра b векторы i + b j –k , i - 5k, i + j

параллельны одной и той же плоскости

3 Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1;3) , В(1; 5).

4 Найти расстояние от точки М(0; 3; 1) до плоскости , определенной уравнением

3 x - 4y + z =5

5 При каком значении параметра  плоскости

x - y + z =5

и

x - y + z =3

перпендикулярны?

V11

1. Даны точки А(1;1;0) , В(0; 2; 1), С (3;0;1 ), Д (0;0;1 ). Найти объем пирамиды

с вершинами в этих точках

2 При каком значении параметра b прямые

x + by -1=0

и

bx – y + 3=0

перпендикулярны?

3 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;0) и параллельной

вектору i + 2j.

4 Найти расстояние от точки М(0; 3) до прямой, определенной уравнением

3 x - y =5

5 При каком значении параметра  плоскости

x - y + (-2)z =5

и

x + z + y =3

перпендикулярны?

V9

1. Даны точки А(1;1;1) , В(0; 2; 2), С (3;0;2 ), Д (3;0;1 ). Лежат ли эти точки в одной плоскости?

2 При каком значении параметров a и b прямые

x + by - a=0

и

4bx + y + 3=0

совпадают?

3 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;0) и перпендикулярной

прямой

x - y =2

4 Найти расстояние от точки М(0; 3) до прямой, определенной уравнением

3 x - 3 y =5

5 Найти косинус угла между плоскостями

x - y + z =5

и

x + z =3

V10

1. Даны точки А(1;1;1) , В(0; 0; 2), С (3;0;2 ), Д (0;0;1 ). Лежат ли эти точки в одной плоскости?

2 При каком значении параметров a и b прямые

x + by + a=0

и

4bx + y=4

совпадают?

3 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;0) и перпендикулярной

прямой

x - 2y =2

4 Найти расстояние от точки М(0; 3) до прямой, определенной уравнением

4x - 3 y =5

5 Найти косинус угла между плоскостью

x + y + z =5 и плоскостью z - 2y=0.

55