Линейная Алгебра и Аналитическая Геометрия

С А Вакуленко

Введение

Математика исследует идеализированные модели систем, встречающихся в природе, технике и обществе. Она формулирует утверждения об этих моделях. Однако важно, чтобы математическая модель более-менее соответствовала бы действительности, иначе математические утверждения об изучаемой системе бесполезны.

Составлением моделей занимаются прикладные науки – физика, биология, механика и так далее, а задача математики их исследовать.

Математика в современном мире часто связана с информатикой (математика занимается, в частности, построением алгоритмов, на основе которых делаются программы для компьютеров).

Модели различных, на первый взгляд, систем бывают похожи. Тем самым мы находим связи между, казалось бы, совершенно разными системами.

Чтобы закончить это введение, отметим еще один важный момент. Современный мир настолько сложен, что наивные представления о функционировании сложных систем часто бывают ошибочны. Чтобы понять, что происходит на самом деле, нужен математический анализ.

“Вопреки распространенному мнению, что математика есть наука, это есть язык, но только более точный, чем другие. Способность к математическим рассуждениям - одно из свойств, которым обладает человеческий мозг, также как способность писать музыку или картины.

Невозможно и даже опасно сравнивать различные способности и утверждать

превосходство математического языка” (J. P. Aubin).

Вводная Лекция

Математика в экономике (краткий обзор)

Некоторые основные математические методы и проблемы, связанные с экономикой, таковы.

1. Теория линейного программирования и ее применение для планирования экономической деятельности.

Эта теория была развита незадолго до второй мировой войны и после войны независимо советскими и американскими математиками. Можно назвать Данцига, Г.Куна и А.Таккера

в USA, Леонида Канторовича в СССР.

(Канторович был суперзвездой математики Ленинграда перед войной. Он cтал

профессором в 23 года. За свои исследования он получил Нобелевскую премию по экономике. Данциг открыл так называемый симплекс метод )

Пример задачи линейного программирования.

(взят из статьи Дж. Голдмана - А Таккера)

Даны неотрицательные числа a₁₁ , a₁₂ , a₂₁, a₂₂,

a₃₁ , a₃₂ , с₁ , с₂ , b₁ , b_{2 .}

Найти неотрицательные числа x₁ , x₂ , такие, что выражение

S = с₁ x₁ + c₂ x₂

было бы максимально, при условиях

(0.1) a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂  b₁

(0.2) a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂  b₂

(0.3) a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂  b₃

Выражение S = с₁ x₁ + c₂ x₂ называется целевой функцией

а неравенства (0.1), (0.2), (0.3) - ограничениями.

Отметим, что без ограничений задача не имеет смысла – решения нет.

Целевую функцию можно увеличивать неограниченно.

Возможная экономическая интерпретация задачи

Предприятие может производить некий продукт двумя способами

(двумя возможными технологическими процессами) с помощью трех видов материалов, имеющихся в его распоряжении

Количество первого материала - b₁

Количество первого материала – b₂

Количество первого материала – b₃

a_ij - количество используемого материала, если продукт будет произведен

с интенсивностью 1 и с применением материала типа i и технологии j.

x₁ - интенсивность применения технологии 1

x₂ - интенсивность применения технологии 2

с₁ - количество производимого продукта при единичной интенсивности с помощью первой технологии

с₂ - количество производимого продукта при единичной интенсивности с помощью

второй технологии

Мы ищем оптимальный выбор интенсивности технологий.

Мы желаем произвести как можно больше. Выражение S = с₁ x₁ + c₂ x₂

- это количество произведенного продукта

В левой части первого неравенства (0.1) стоит количество истраченного материала

типа 1,

в левой части второго неравенства (0.2) стоит количество истраченного материала

типа 2,

в левой части третьего неравенства (0.3) стоит количество истраченного материала

типа 3.

Таким образом, эти неравенства выражают условие, что мы не можем истратить больше материала, чем есть на складе.

Задача состоит, таким образом, в максимизации производства S при ограничениях на имеющиеся расходные материалы.

В настоящее время линейное программирование – законченный раздел математики.

Имеются стандартные программы, которые решают задачи типа сформулированной выше.

Упрощенный пример интерпретации задачи линейного программирования

Рассмотрим совсем простую задачу.

Даны числа a₁₁ , a₁₂ , c₁ , c₂ , b₁ , b_{2 .}

Найти неотрицательные числа x₁ , x₂ , такие, что выражение

S = с₁ x₁ + c₂ x₂

было бы максимально, при одном условии

(0.4) a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂  b₁

Эта задача допускает, другую, более простую, экономическую интерпретацию.

Простой бизнес предпринимателя Иванова

Бизнесмен Сергей Иванов закупает бананы и апельсины в Марокко и продает

их в Новосибирске по повышенным ценам.

Он доставляет свой товар самолетом. Предположим, x₁ - это число закупленных им коробок с апельсинами и x₂ - это число закупленных коробок с бананами.

Каждая коробка апельсинов приносит в среднем прибыль с₁

Каждая коробка бананов приносит в среднем прибыль с₂

Тогда целевая функция S – это числовое выражение прибыли, если Иванов закупил

x₁ коробок с апельсинами и x₂ коробок с бананами

А поскольку прибыль – это цель действий бизнесмена , то отсюда становится ясным происхождение термина – целевая функция.

Неравенство (0.4) выражает ограничение на экономическую деятельность.

Пусть число a₁₁ есть вес коробки апельсинов, число a₁₂ есть вес коробки бананов.

Тогда левая часть неравенства есть вес всех коробок, закупленных Ивановым.

Число же b₁ есть максимальная грузоподъемность самолета.

Таким образом, неравенство (0.4) выражает ограничение на предпринимательскую

деятельность: невозможно перевезти больше, чем может поднять самолет.