1 Уравнение прямой в векторной форме

Прямую, проходящую через заданную точку C и перпендикулярную заданному вектору n, можно рассматривать как геометрическое место точек M, таких, что вектор CМ= m перпендикулярен вектору n.

Запишем уравнение прямой в векторной форме. Введем некоторую систему координат с центром в точке О. Мы получим

m n = 0 . (3.7)

Но вектор CМ= m , очевидно, равен разности радиус- векторов ОC и ОМ.

Первый вектор обозначим x₀, а второй – x.

(Первый вектор снабжается индексом, чтобы подчеркнуть, что он задан). Мы получаем m= x – x₀. Подставляя эту формулу в (3.7), мы находим уравнение прямой в векторной форме

(x – x₀) n = 0 (3.8)

2 Общее уравнение прямой

Уравнение (3.8) может быть переписано в более явном, хотя и менее компактном виде. Пусть координаты вектора n будут (a, b), вектора x₀ будут (x₀,y₀), a вектора x - (x,y). Используя выражение для скалярного произведения через координаты, получаем

(после подстановки в (3.8))

a x + by + c=0. (3.9)

Итак, уравнение любой прямой может быть записана в виде (3.9), при этом коэффициенты (a, b) есть координаты ненулевого вектора, перпендикулярного прямой.

Такой вектор называют нормалью к прямой. Заметим, что этот вектор (нормаль) может быть выбран различными способами. Если мы его умножим на число, его направление не изменится и прямая, очевидно, также не изменится. При этом такое изменение вектора

сводится к умножению обеих частей уравнения на некий коэффициент. Если вектор нормали имеет единичную длину, то мы приходим к так называемому нормальному уравнению прямой

 x + y + r = 0. (3.10)

Чтобы получить нормальное уравнение прямой из общего, достаточно обе части общего

уравнения поделить на корень из суммы квадратов коэффициентов a² + b^2.. В уравнении (3.10) сумма квадратов коэффициентов равна 1.

3 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку.

Если мы немного иначе преобразуем векторное уравнение (3.8), не раскрывая некоторые скобки, мы получим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с координатами (x₀,y₀)

a( x - x₀) + b(y - y₀)=0. (3.11)

4 Расстояние между заданной точкой M с координатами (x₁,y₁) и прямой.

Чтобы найти расстояние d между точкой M и прямой, удобно использовать нормальное уравнение (3.10). Формула для вычисления расстояния имеет вид

d= | x₁ + y₁ + r| . (3.12)

Эта формула может быть объяснена просто. Мы подставляем координаты заданной точки в уравнение прямой и абсолютная величина полученного при этом числа будет расстоянием от точки до прямой.

Докажем эту формулу. Ранее мы уже вычисляли расстояние в терминах векторов.

Чтобы упростить вычисления, мы рассмотрим случай r=0. Это означает, что прямая проходит через начало координат.

Это позволит нам применить задачу 1 о проекции вектора на прямую.

Мы обнаружили (в задаче 1 о проекции вектора на прямую), что вектор h, который идет из заданной точки с радиус - вектором x₁ перпендикулярно к прямой, может быть найден по формуле (3.3), в которую, естественно, мы вместо c должны подставить x₁:

h = x₁ - ( x₁ e) e. (3.13)

Здесь e вектор, лежащий на прямой. Введем вектор нормали n к прямой, имеющий единичную длину. Заметим, что векторы h и n либо одинаково направлены, либо противоположны. В любом случае расстояние есть d = | h n |. Подставим в эту формулу выражение для вектора h из формулы (3.13). Поскольку векторы e и

n перпендикулярны, получаем d =| x₁ n | =|  x₁ + y₁ |, что и требовалось доказать.

Второе доказательство. Возможно, это доказательство покажется кому-то более простым. Пусть задана точка М с координатами (x₁,y₁). Найдем на прямой точку

N(x₀,y₀), ближайшую к (x₁,y₁). Эта точка N такова, что вектор NM перпендикулярен

к прямой, или, что тоже самое, параллелен вектору нормали к прямой. Последний

задан координатами ( , ). Вектор MN имеет координаты (x₀ - x₁, y₀ - y₁).

Следовательно,

x₀ - x₁ =t , y₀ - y₁ =t , (**)

где t - неизвестный параметр. Имеем отсюда, что

x₀ = x₁ + t , y₀ = y₁ + t .

Расстояние d равно модулю |t|. Это видно из соотношения

(x₀ - x₁) ² + (y₀ - y₁) ² =(t ) ² + (t ) ² .= t ²,

поскольку сумма квадратов  ² +  ² =1. Теперь мы должны найти значение параметра t. Это можно сделать, подставив выражение для x₀,y₀ в уравнение прямой. В самом деле, точка N(x₀,y₀) лежит на прямой и поэтому уравнение прямой должно быть удовлетворено. После подстановки чисел (x₀,y₀) в уравнение (3.10), мы получаем из нормального уравнения прямой

(x₁ + t )  + (y₁ + t )  + r=0,

таким образом

x₁ + y₁  + r= - t(  ² + ²)= -t.

Это дает |t| = |r + x₁  + y₁ |, что и требовалось доказать, поскольку ранее мы доказали,

что расстояние равно модулю t.

Плоскость в пространстве

Существует много различных способов записать уравнение плоскости. Для каждой данной конкретной задачи, удобно использовать соответствующее уравнение.