IV Примеры векторных пространств

( продолжение материала повышенной трудности)

Приведем примеры векторных пространств.

а) Множество обычных чисел – векторное пространство.

б) Множество векторов в пространстве - тоже векторное пространство E ³.

в) Рассмотрим множество R ⁿ, которое состоит из строчек вида (x₁, x₂ , ..., x_n),

образованных из n действительных чисел. Числа xi называются координатами

( компонентами). Определим операции над этими строчками.

Сумма двух строк x=(x₁, x₂, ..., x_n) и y= (y₁, y₂ , ..., y_n)

есть, по определению, строка x+y=(x₁ +y₁, x₂ +y₂, ..., x_n +y_n), то есть

элементы строк, стоящие на тех же позициях, складываются.

Произведение строки x=(x₁, x₂ , ..., x_n) и числа c есть строка cx=(cx₁, cx₂ , ..., cx_n),

то есть каждое число в строке умножается на число c.

Определим теперь скалярное произведение. Скалярное произведение двух строк

x=(x₁, x₂, ..., x_n) и y=(y₁, y₂ , ..., y_n) есть число, равное сумме произведений

соответствующих координат:

x y = x₁ y₁ + x₂ y₂ +... + x_n y_n.

(Заметим, что это произведение у нас уже встречалось)

Легко проверить, что все свойства А1 –А11 выполнены. Тем самым наше множество строк есть векторное пространство со скалярным произведением. Длина |x| вектора x есть корень из суммы квадратов компонент

|x| = x₁² + x₂² + ...+ x_n²

Это чисто алгебраический пример векторного пространства.

В каких прикладных вопросах может возникнуть пространство R ⁿ? На самом деле

мы уже встречали его в задачах линейного программирования. Рассмотрим другой пример.

Представим себе, что мы производим n измерений величины x.

Каждый раз мы получаем разное значение, поскольку имеется ошибка измерений.

В результате измерений получаем строчку из n чисел,

которая будет вектором. Измеряя другую величину y, получаем другой вектор и т. д.

г) Исключительно важный пример - это пространство функций f(x) , определенных

на некотором интервале, например [a, b]. Определим операции сложения и умножения на

число.

Сумма функций f(x) , g(x) есть функция f(x) + g(x). Произведение функции f(x) и числа c есть функция c f(x).

Легко проверить, что свойства А1 -А7 выполнены. Значит, множество функций также может быть рассмотрено как линейное пространство. В дальнейшем этот пример приведет нас к теории рядов Фурье.

д) Пространство матриц заданного размера – также линейное пространство

(Конец материала повышенной трудности)

V Аналитическая геометрия Сведение геометрии к алгебре посредством системы

координат

Идея, которую мы обсудим в этой части лекции, принадлежит французскому математику физику и философу Рене Декарту (Descartes Rene, 1596 -1650. Жил в Голландии, умер в Стокгольме, по профессии военный. Ему принадлежит знаменитое изречение Je pense

donc je suis . Я думаю, следовательно, я существую .

Сальери вместо Моцарта

Так называемая декартова система координат позволяет свести геометрию к алгебре, то есть красивые геометрические идеи к скучным подсчетам.

Зачем это нужно? Чтобы сложные геометрические задачи решать путем автоматизированных подсчетов, которые, например, легко сделать на компьютере. Кроме того, геометрическая интуиция иногда ведет к ошибкам. Алгебраические методы более формальны, но зато надежнее.

Этот раздел математики называется аналитической геометрией. Мы будем его изучать еще в ближайших 2-3 лекциях.

Координаты вектора

Рассмотрим плоскость P. Выберем произвольно некую точку O. Ее будем называть началом координат.

Проведем из этой точки две перпендикулярные прямые. На каждой прямой выберем два

вектора e₁ и e₂ единичной длины. Они задают направления на этих прямых. Такие векторы называют еще ортами. Пару ортов называют ортонормированным базисом.

Тем самым мы ввели так называемые оси координат (ось – это прямая с направлением)

Первую ось обозначим Оx, а вторую Oy.

Рассмотрим точку М. Вектор ОМ, начало которого совпадает с началом координат,

а конец – с точкой М, называется радиус - вектором точки М.

Координаты вектора ОМ - по определению, это координаты точки М.

Чтобы найти координаты произвольного вектора a, надо перенести его параллельно самому себе так чтобы его начало было бы в начале координат. Тогда он станет

радиус вектором и его координаты есть координаты его конца.

Координаты есть проекции вектора на оси координат.

Рассмотрим вектор a=OA с началом в точке О. Спроектируем его на ось координат Оx

Получим вектор OB. Затем спроектируем его на ось координат Oy. Получим вектор OС.

Первая координата a₁ вектора a равна длине OB, если направление этой проекции

и единичного вектора e₁ совпадают и равна минус длине - OB, если эти направления различны.

Вторая координата a₂ равна длине OС, если направление этой проекции

и единичного вектора e₂ совпадают и равна минус длине -  OC, если эти направления различны.

Представление вектора с помощью его координат

Нетрудно заметить, что вектор a может быть следующим образом записан

с помощью своих координат a_{1 ,} a₂ :

a= a₁ e₁ + a₂ e₂ (2.1)

В самом деле, вектор a равен сумме OB + OC, а слагаемые в этой сумме равны a₁ e₁ и a₂ e₂ соответственно.

Аналогичная формула может быть получена для любой пары неколлинеарных векторов

e₁, e₂, однако только для ортонормированного базиса имеется простая формула для вычисления координат.

Примечание

Абсолютно аналогично вводятся система координат в пространстве. Для этого надо использовать три перпендикулярные прямые и три орта. Предыдущая формула принимает вид

a= a₁ e₁ + a₂ e₂ + a₃ e₃ (2.2)

Утверждение. Координаты a_{1 ,} a₂ могут быть вычислены по формулам

a₁ = a e₁ , a₂ = a e₂ (2.3)

(то есть с помощью скалярного произведения)

Доказательство элементарно. Рассмотрим формулу (2.1) и уммножим обе ее части

на e₁ . Используя, что e₁ и e₂ - орты, то есть они ортогональны и их

дины равны 1, получаем (2.3) . В самом деле,

a e₁ = (a₁ e₁ + a₂ e₂ ) e₁ = a₁ ( e₁ e₁) + a₂ ( e₂ e₁ )=

= a₁ ( e₁ e₁ )= a_1,

и аналогично для второй координаты.

Как записать действия над векторами с помощью его координат

Сложим два вектора a и b.

Предположим, первый вектор имеет координаты a₁, a₂, а второй

b₁, b₂. Получаем по формуле (1)

a +b= (a₁ e ₁ + a₂ e₂ ) + (b₁ e ₁ + b₂ e ₂) =

По свойствам сложения и умножения на число, мы можем сгруппировывать

члены как угодно и раскрывать скобки. В результате имеем

a + b= (a₁ + b₁) e ₁ + ( a₂ + b₂) e ₂ (2.4)

А это значит, что координаты суммы векторов есть суммы координат слагаемых.

Мы получаем вектор с координатами a₁ + b₁, a₂ + b₂.

Аналогично, если мы умножаем вектор a на число c, координаты вектора ca

будут (с a₁, с a₂)

с a= с a₁ e ₁ + с a₂ e ₂ (2.5)

Выразим через координаты скалярное произведение a и b. Получаем по формуле (2.1)

a b= (a₁ e ₁ + a₂ e ₂ ) ( b₁ e ₁ + b₂ e ₂ )

( применяем свойства A8 –A11 )

= a₁ b₁ e ₁ e ₁ + a₁ b₂ e ₁ e ₂ + a₂ b₁ e ₂ e ₁ + a₂ b₂ e ₂ e ₂ .

Теперь вспомним, что орты e ₁ и e ₂ перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю. Итак, второй и третий члены в сумме пропадают.

Кроме того, орты имеют единичную длину по определению. Значит,

e ₁ e ₁= 1, e ₂ e ₂=1. Следовательно,

a b = a₁ b₁ + a₂ b_2. (2.6)

Мы доказали, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

первая координата первого вектора умножается на первую координату второго,

вторая координата первого умножается на вторую координату второго, и затем все произведения складываются.

Аналогично вводятся координаты для векторов в пространстве. В пространстве мы можем ввести систему координат с помощью трех взаимно – перпендикулярных единичных векторов (ортов) e _{1 ,} e _2, e ₃ .

Каждый вектор в пространстве имеет представление в виде линейной комбинации

e _{1 ,} e _2, e ₃ :

a = a₁ e ₁ + a₂ e ₂ + a₃ e ₃ .

Скалярное произведение вычисляется по формуле

a b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ . (2.7)

Замечание: геометрический аналог пространства строчек с 4 компонентами – это четырехмерное пространство, строчек с 5 компонентами – пятимерное и так далее.

Замечание: орты на плоскости часто обозначают также i, j , а в пространстве i,j,k

Длина вектора есть корень квадратный из скалярного квадрата вектора. Следовательно,

по формуле (2.7) получаем

| a | ² = a₁² + a₂ ² + a₃ ² .

Задача 0. Координаты точек С, А даны: С=(1,5), А =(2,3). Найти координаты вектора СА

Решение задачи. Заметим, что вектор СА есть разность радиус векторов:

СА=OA – OC. Следовательно, надо вычесть из координат точки А координаты точки С. Получаем СА= (1, -2).

(Далее материал повышенной трудности)

Одна из центральных идей математики – изоморфизм (взаимно однозначное

соответствие между двумя множествами объектов с сохранением структуры операций над объектами)

Когда две математические модели эквивалентны? Две модели эквивалентны, если мы можем найти взаимно однозначное соответствие между объектами первой модели

и объектами второй модели, такое, что операции над объектами первой модели соответствуют операциям над объектами второй модели и наоборот

(это, конечно, не математическое определение, а скорее, объяснение). В такой ситуации говорят об изоморфизме (то есть об эквивалентности).

С этой точки зрения векторы (стрелки) на плоскости эквивалентны строчкам с двумя компонентами, то есть пространства E ² и R ² изоморфны. Аналогично,

пространства E ³ и R³ изоморфны.

Соответствие строится с помощью системы координат. Берем вектор a. Находим его координаты a_{1 ,} a₂. Образуем строчку (a_{1 ,} a₂).

И обратно, имея строку (a_{1 ,} a₂.), и два перпендикулярных единичных вектора

e _1, e ₂ мы можем построить геометрический вектор a= a₁ e₁ + a₂ e₂

по формуле (2). Таким образом, получаем соответствие

между двумя разными множествами векторов (стрелками на плоскости и строчками из двух чисел).

При этом соответствии операциям в E ² (сложение, умножение на число, скалярное произведение) соответствуют аналогичные операции в R ².

Это следует из формул (2.3) –(2.6). То, что мы получили в итоге, имеет принципиальное значение. Мы, с помощью идеи Декарта о системе координат, полностью заменили

геометрию на алгебру.

(Конец материала повышенной трудности)

Контрольные вопросы

Сложные вопросы

1. Почему так легко удалось вывести теорему Пифагора с помощью векторной алгебры?

2 Каков простейший пример векторного (линейного) пространства?

3 Образуют ли векторное пространство все функции, определенные на всей числовой оси и равные 1 в точке x=0?

(операции определены как выше, в примере г)?

4 Простой вопрос: Два вектора имеют координаты (1, 2, 5) и (2, 4, 7). Коллинеарны ли они?

Некоторые простейшие задачи

Задача 1 : о проекции вектора c на прямую ОА .

Рассмотрим вектор ОС=с с началом в точке О . Проекция вектора с на прямую ОВ

есть вектор ОP= p , такой, что Р - точка, ближайшая к С и лежащая на прямой

ОВ. Найти этот вектор, если задан ненулевой вектор b, лежащий на прямой ОВ.

Решение задачи

Длина L проекции заданного вектора c на прямую равна

L= |c| cos  , (3.0)

где  - угол между прямой и заданным вектором. Эта формула очевидна из рисунка.

Угол может быть выражен через заданные векторы с помощью скалярного произведения. Тогда выводим, что вектор р, задающий проекцию, равен

р= b (c b) / b ² . (3.1)

Если вектор b есть единичный орт e, эти формула упрощается и принимает вид

p = (c e) e. (3.2)

Эта формула дает решение задачи о проекции в векторном виде.

Найдем, с помощью векторной алгебры, расстояние между прямой и точкой С.

Расстояние между точкой С (концом вектора ОС) и прямой ОА будет длиной вектора

h=AC, то есть вектора

h = c – p = c - (c e) e. (3.3)

Простые вычисления показывают, что квадрат длины этого вектора равен

h² = c ² - (c e) ² . (3.4)

Формула (3.4) задает в векторном виде квадрат расстояния от прямой ОВ, выходящей из начала координат и определенной единичным вектором e на ней, до заданной точки С с радиус - вектором c=ОС.

Задача 2 : Найти угол  между прямыми СА и СВ. Координаты точек С, А и В даны.

Решение. Пусть (a_1, a_2, a₃ ) и ( b_1, b₂ , b₃ ) – координаты векторов

a=СА и b=СВ соответственно. (Они могут быть найдены, как указано в задаче 0).

Согласно определению скалярного произведения,

cos  = a b / (| a| |b|) =( a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ )/ ( (  a₁² + a₂² + a₃²) (  b₁² + b₂² + b₃²))

Задача решена.

Векторное произведение двух векторов в пространстве

Определение, данное ниже, служит одновременно методом вычисления.

Определение.

Пусть даны два вектора a, b в пространстве. Рассмотрим в этом пространстве тройку единичных, взаимно перпендикулярных векторов i,j, k .

Эта тройка (если предположить, что все векторы выходят из одной точки О) определяет декартову систему координат в пространстве. Пусть координатами векторов a, b являются

числа (a_1, a_2, a₃ ) и ( b_1, b₂ , b₃ ) соответственно. Векторным произведением

a  b называется определитель с векторным значением

i j k

a₁ a₂ a₃ a₂ a₃ a₁ a₃ a₁ a₂

= i - j + k

b₁ b₂ b₃ b₂ b₃ b₁ b₃ b₁ b₂

Смешанное произведение трех векторов a, b, c в пространстве

есть, по определению, скалярное произведение векторного произведения

a  b на вектор c . Результатом этой операции является число, которое

обозначается a b c .

Вычисление смешанное произведения. Из определения векторного

и скалярного произведений немедленно вытекает, что если векторы a, b, c

заданы своими координатами (a_{1 ,} a_{2 ,} a₃) , (b_1, b_2, b₃ )_, (c_1, c_2, c₃) _, смешанное произведение равно определителю

a₁ a₂ a₃

b₁ b₂ b₃

c₁ c₂ c₃

Введенные операции полезны в физике, особенно в теории электромагнетизма.

Однако они полезны еще и при вычислении площадей и объемов, как мы увидим ниже.

Утверждение 1

Векторное произведение антикоммутативно: a  b = - b  a

Кроме того, имеют место свойства

(a 3 b) =  a 3 b,

c 3 ( a + b) = c 3 a + c 3 b.

Доказательство этих свойств может быть получено непосредственно из определения векторного произведения с помощью свойств определителей.

Утверждение 2

Длина векторного произведения a 3 b есть число, равное площади параллелограмма,

построенного на векторах a, b .

Доказательство сложное и является материалом повышенной трудности.

Пусть вектор a имеет координаты (a₁ , a₂, a₃). Вектор b пусть имеет координаты ( b_{1 ,} b_{2 ,} b₃ ).

1 Подсчет квадрата длины векторного произведения. Векторное произведение будет равно

c = a 3 b = i ( a₂ b₃ - a₃ b₂ ) - j( a₁ b₃ - a₃ b₁ ) + k ( a₁ b₂ - a₂ b₁ ) .

Квадрат длины полученного вектора есть

c² = ( a₂ b₃ - a₃ b₂ ) ² + ( a₁ b₃ - a₃ b₁ ) ² + ( a₁ b₂ - a₂ b₁ ) ² . (I)

2 Подсчет квадрата площади. Площадь S параллелограмма равна произведению длины основания на высоту. За основание примем a. Длина основания, следовательно, равна | a|.

Высота есть, как нетрудно убедиться из рисунка, |b| sin , где  - угол между

a и b. Площадь будет | a| |b| sin . Квадрат площади будет равен S² = | a|² |b| ² sin ² .

Заметим, что sin ²  = 1 - соs ²  и соs ²  = (a b) ² / | a|² |b| ². Подставляя полученную

формулу в формулу для квадрата площади, имеем после приведения к общему знаменателю

S² = | a|² |b| ² - (a b) ² = ( a₁² + a₂ ² + a₃ ² ) ( b₁² + b₂ ² + b₃ ² ) -

- (a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ ) ² (II)

После возведения в квадрат и приведения подобных членов можно убедиться,

что выражения (I) и (II) тождественно равны.

Утверждение доказано, поскольку показано, что квадрат площади равен квадрату длины

векторного произведения.

Утверждение 3 Векторное произведение a 3 b перпендикулярно обоим сомножителям a и b.

Докажем, что скалярное произведение векторное произведения a 3 b на вектор

a есть ноль. Тогда векторное произведение перпендикулярно вектору a.

Для доказательства достаточно проверить, что смешанное произведение (a 3 b) a равно нулю.

Составим соответствующий определитель. В нем будут две равные строки. Вычитая из одной строки другую, получаем определитель с нулевой строкой. Он равен нулю.

Совершенно аналогично доказывается, что векторное произведение перпендикулярно b.

Следствие: Пусть векторы a , b имеют общее начало. Тогда векторное произведение перпендикулярно плоскости, проходящей через оба вектора a , b.

Задача 3: о площади треугольника

Рассмотрим треугольник ОАВ, образованный двумя векторами b=ОВ, a=ОА Координаты точек А, В заданы, О – начало координат. Надо найти его площадь S.

Решение. Вычисляем векторное произведение a 3 b , беря в качестве координат

векторов a, b координаты точек А, В соответственно. Затем вычисляем его длину и делим пополам.

Вычислим площадь в частном случае, когда оба вектора лежат в плоскости

z=0. Тогда их координаты имеют вид (b₁ , b₂ , 0) и (a₁ , a₂ , 0). Определитель

имеет вид

i j k

a₁ a₂ 0 a₁ a₂

= k

b₁ b₂ 0 b₁ b₂

Отсюда

a₁ a₂

2S= | Det |

b₁ b₂

Итак, мы заключаем, что площадь плоского треугольника с вершиной в начале

координат равна модулю определителя, составленного из координат вершин треугольника, деленному на 2.

Материал повышенной трудности

Задача 4: об объеме параллелепипеда.

Рассмотрим параллелепипед П=ОАВС, построенный на векторах b=ОВ, a=ОА,

c=ОC. Координаты точек А, В, C заданы, О – начало координат. Надо найти его объем V.

Шаг 1. Гипотеза о виде решения. Мы видели, что площадь паралеллограмма равна

модулю определителя второго порядка, причем матрица в этом определителе составлена из координат векторов - сторон параллеллограмма. Напрашивается мысль, что объем

параллелепипеда П будет равен модулю определителя 3-го порядка , составленному из координат соответствующих векторов – ребер параллелепипеда, то есть определителю

a₁ a₂ a₃

b₁ b₂ b₃

c₁ c₂ c₃

Этот определитель, как мы знаем, есть смешанное произведение a b c , составленное из векторов – ребер параллелепипеда.

Шаг 2. Проверка гипотезы. Докажем, что наша гипотеза верна и

что, в самом деле, V=| a b c|.

Напомним, что объем равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания равна длине векторного произведения S=a  b. Далее, высота h есть длина проекции c на вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами a, b. В качестве такого вектора мы можем взять вектор s=a b. Следовательно, S=|s| . Длина проекции h равна, как мы знаем из задачи 1,

h = | c s|/|s|. (*)

Итак, объем равен

V= h S = h |s| .

По предыдущей формуле и формуле (*) мы теперь находим

V = | cs | = | с (a  b) |=|a b с|.

Наша гипотеза доказана, и задача решена.

Задача о проекции вектора c на плоскость ОАВ .

Рассмотрим вектор ОС=с с началом в точке О .

Проекция вектора с на данную плоскость, содержащую единичные орты i , j и точку О,

есть вектор ОP= p , такой, что Р - точка, ближайшая к С и лежащая на данной плоскости.

Найти выражение для вектора проекции p через орты и вектор с.

Решение задачи. Пусть i , j – пара единичных перпендикулярных векторов

на плоскости. Любой вектор ОP= p, лежащий на плоскости, может быть представлен в виде t ₁i + t ₂ j.

Наша геометрическая задача теперь может быть переформулирована в следующем виде:

Найти числа t ₁ , t ₂ , такие, что вектор c - t ₁i - t ₂ j =d

имеет минимальную длину.

Найдем решение этой задачи. Скалярный квадрат d² имеет вид

d² = (c - t ₁i + t ₂ j)² = c ² - 2 t ₁ (c i) + t ₁² - 2 t ₂ (c j) + t ₂²

Итак, скалярный квадрат как функция t _1, t ₂ , есть сумма двух квадратных трехчленов.

По известным из школы формулам находим, что минимум этих трехчленов достигается при значениях

t ₁= c i, t ₂= c j.

Соответственно, проекция ОР имеет вид

p = i (c i) + j(c j) (3.5)

Расстояние между точкой С (концом вектора ОС) и плоскостью будет длиной вектора

h=AC, который задан формулой

h = c – p = c - i (c i) - j(c j) (3.6)

(Конец материала повышенной трудности)

Некоторые элементарные задачи Аналитической Геометрии

Отметим некоторые фундаментальные идеи и понятия .

В аналитической геометрии построить геометрический обьект (провести прямую

или окружность, или эллипс) - значит найти уравнение, описывающее обьект (уравнение прямой, окружности, или эллипса).

Например, уравнение окружности радиуса 2 с центром в начале координат

есть

x² + y² = 4.

Чтобы проверить, что точка с координатами (x,y) лежит на окружности,

надо подставить эти координаты в уравнение. Если оно удовлетворено (правая часть равна левой), тогда точка лежит на окружности, если не удовлетворено – не лежит.

Чтобы найти пересечение двух кривых, надо составить систему из уравнений, описывающих эти кривые.

Точки, удовлетворяющие системе, лежат на пересечении двух кривых.

Прямая на плоскости с точки зрения векторной алгебры.

Рассмотрим прямую ОА . Выберем на ней произвольно вектор ОВ . Обозначим его b

Тогда прямая ОА может быть представлена как геометрическое место концов векторов вида t b , где t - произвольное число.

Плоскость с точки зрения векторной алгебры.

Рассмотрим плоскость в пространстве. Выберем на ней произвольно векторы ОB и ОC . Обозначим их b,c . Тогда плоскость ОBC может быть представлена как геометрическое место концов F векторов вида OF = t₁ b + t₂ c, где t₁ , t₂ - произвольные числа.

Замечание: Здесь мы видим так называемое параметрическое задание

геометрического объекта с помощью параметров t₁ , t₂ .

Рассмотрим вектор n, ортогональный b и c.

Плоскость ОBC также может быть рассмотрена и как геометрическое место концов векторов, ортогональных n, начало которых в лежит точке О.

Возникает вопрос, как по векторам b и c вычислить вектор n. Мы можем решить эту задачу с помощью векторного произведения b и c . Получаем

n = b  c.

Прямая на плоскости

Существует много различных способов записать уравнение прямой. Для каждой данной конкретной задачи, удобно использовать соответствующее уравнение.