3.4.4. Подбор сечения нижней части колонны.

• Определим ориентировочное положение центра тяжести.

Принимаем z_o = 5 см; h_o = h_н - z_o = 150 – 5 = 145 см;

y₁ = [|M₂|/(|M₁| + |M₂|)]h_o = (597/(542 + 597))*145 = 76 см;

y₂ = h_o – y₁ = 145 – 76 = 69 см.

• Определим усилия в ветвях:

в подкрановой ветви

N_в1 =N₁ y₂ / h_o + M₁/ h_o =1101*69/145 + 54200/145 = 898 кН;

в наружной ветви

N_в2 = N₂ y₁/ h_o + M₂/ h_o =1292*76/145 + 59700/145 = 1089 кН.

• Определяем требуемую площадь ветвей и назначаем сечение:

- для подкрановой ветви А_в1 = N_в1 γ_n /ϕR_yγ; задаемся ϕ = 0,8; R_y = 230 МПа = 23 кН/см² (сталь С235, фасонный прокат),

тогда А_в1 = 898*0,95/0,8*23 = 46,4 см².

По сортаменту ( см. прил. 16) подбираем двутавр 40Б1:

А_в1 = 61,25 см², i_x1 = 3,42 см, i_y = 16,03 см;

- для наружной ветви

А_в2 = N_в2 γ_n /ϕR_yγ = 1089*0,95/0,8*23 = 56,2 см² (R_y = 23 кН/см² листовой прокат из стали С235 толщиной до 20 мм; ϕ = 0,8).

Требуемая площадь полок:

А_f= (А_в2 – t_wh_w)/2 = (56,2 – 1,4*40)/2 = 0,1 см².

Из условия местной устойчивости полок b_f/t_f ≤ 15.

Принимаем b_f= 15 см, t_f = 1,4 см, А_f = 1,4*15=21 см².

• Геометрические характеристики ветви:

А_в2 = (2*1,4*15 + 1,4*40) = 98 см²;

z_o = (1,4*40*0,7 + 21*8,9*2)/98 = 4,2 см;

I_x2 = 1,4*40*3,15² + 2*1,4*15³/12 + 21*5,05²*2 = 2414 см⁴;

I_y = 1,4*40³/12 + 21*21,75²*2 = 27336 см⁴;

i_x2 = √2414/98 = 4,96 см;

i_y = √27336/98 = 16,7 см.

• Уточняем положение центра тяжести сечения колонны:

h_o = h_н – z_o = 150 – 4,2 = 145,8 см;

y₁ = А_в2h_o/(А_в1 + А_в2) = 98*145,8/(61,25 + 98) = 89,72 см;

y₂ = 145,8 – 89,7 = 56,1 см.

Отличие от первоначально принятых размеров велико, поэтому усилия в ветвях пересчитываем.

• Определяем усилия в ветвях:

в подкрановой ветви

N_в1 =N₁ y₂ / h_o + M₁/ h_o =1101*56/145,8 + 54200/145,8 = 795 кН;

в наружной ветви

N_в2 = N₂ y₁/ h_o + M₂/ h_o =1292*89,8/145,8 + 59700/145,8 = 1205 кН.

• Определяем требуемую площадь ветвей и назначаем сечение:

- для подкрановой ветви А_в1 = N_в1 γ_n /ϕR_yγ = 795*0,95/0,8*23 = 41 см².

По сортаменту ( см. прил. 16) подбираем двутавр 30Б1: А_в1 = 41,92 см²,

i_x1 = 3,05 см, i_y = 12,29 см;

- для наружной ветви А_в2 = N_в2 γ_n /ϕR_yγ = 1205*0,95/0,8*23 = 62,6 см².

Требуемая площадь полок:

А_f= (А_в2 – t_wh_w)/2 = (62,6 – 1,4*32,4)/2 = 8,62 см².

Принимаем b_f= 10 см, t_f = 1,4 см, А_f = 1,4*10=14 см².

• Геометрические характеристики ветви:

А_в2 = (2*1,4*10 + 1,4*32,4) = 73,36 см²;

z_o = (1,4*32,4*0,7 + 21*6,4*2)/73,36 = 4,1 см;

I_x2 = 1,4*32,4*3,15² + 2*1,4*10³/12 + 5,05²*2 = 1397 см⁴;

I_y = 1,4*32,4³/12 + 14*21,75²*2 = 17214 см⁴;

i_x2 = √1397/73,36 = 4,36 см;

i_y = √17214/73,36 = 15,32 см.

• Уточняем положение центра тяжести сечения колонны:

h_o = h_н – z_o = 150 – 4,1 = 145,9 см;

y₁ = А_в2h_o/(А_в1 + А_в2) = 73,36*145,9/(73,36 + 41,92) = 92,8 см;

y₂ = 145,9 – 92,8 = 53,1 см.

Отличие от принятых размеров мало, поэтому усилия в ветвях не пересчитываем.

Проверка устойчивости ветвей.

Из плоскости рамы (относительно оси у-у) l_y = 1615 см.

Подкрановая ветвь:

λ_y^’ =1615 / 12,29 *√23 /2,06*10⁴=4,39;

ϕ_y = 0,392, (см. прил. 8)

σ = N_в1/ϕ_yА_в1 = 795/0,392*41,92 = 48,4 кН/см² > R_y /γ_n = 24,2 кН/см².

Условие не выполняется, увеличиваем № двутавра и принимаем двутавр №40Б1: А_в1 = 61,25 см², i_x1 = 3,42 см, i_y = 16,03 см;

λ_y^’ =1615 / 16,03 *√23 /2,06*10⁴=3,37;

ϕ_y = 0,565, (см. прил. 8)

σ = N_в1/ϕ_yА_в1 = 795/0,565*61,25 = 23 кН/см² < R_y /γ_n = 24,2 кН/см².

Наружная ветвь:

Увеличиваем ширину стенки h_w =39,2+2,8=42 см.

А_в2 = 1,4*42+2*1,4*10=86,8 см².

z_o = (1,4*42*0,7 + 2*1,4*10*6,4)/86,8 = 2,54 см;

I_x2 = 1,4*42*3,15² + 2*1,4*10³/12 + 5 5²*2*14 = 1664 см⁴;

I_y = 1,4*42³/12 + 14*21,75²*2 = 21889 см⁴;

i_x2 = √1664/86,8 = 4,4 см;

i_y = √21889/86,8 = 15,88 см.

λ_y^’ =1615 / 15,88 *√23 /2,06*10⁴=3,4;

ϕ_y = 0,492, (см. прил. 8)

σ = N_в2/ϕ_yА_в2 = 1205/0,492*86,8 = 28,21 кН/см² > R_y /γ_n = 24,2 кН/см².

Увеличиваем ширину полок и принимаем b_f= 15 см, t_f = 1,4 см, А_f = 1,4*15=21 см².

• Геометрические характеристики ветви:

А_в2 = (1,4*42 + 2*21) = 100,8 см²;

z_o = (1,4*42*0,7 + 21*8,9*2)/100,8 = 4,1 см;

I_x2 = 1,4*42*3,15² + 2*1,4*15³/12 + 21*5,5²*2 = 2641 см⁴;

I_y = 1,4*42³/12 + 21*21,75²*2 = 28512 см⁴;

i_x2 = √2641/100,8 = 5,1 см;

i_y = √28515/100,8= 16,8см.

λ_y^’ =1615 / 16,8 *√23 /2,06*10⁴=3,2;

ϕ_y = 0,526, (см. прил. 8)

σ = N_в2/ϕ_yА_в2 = 1205/0,526*100,8 = 22,7 кН/см² < R_y /γ_n = 24,2 кН/см².

• Уточняем положение центра тяжести сечения колонны:

h_o = h_н – z_o = 150 – 4,1 = 145,9 см;

y₁ = А_в2h_o/(А_в1 + А_в2) = 100,8*145,9/(100,8 + 61,25) = 90,7 см;

y₂ = 145,9 – 90,7 = 55,2 см.

• Из условия равноустойчивости подкрановой ветви в плоскости и из плоскости рамы определяем требуемое расстояние между узлами решетки:

λ_x1 = l_в1/i_x1 = λ_y = 62; l_в1 = 62i_x1 = 62*3,42 = 212 см.

Принимаем l_в1 = 210 см, разделив нижнюю часть колонны на целое число панелей. Проверяем устойчивость ветвей в плоскости рамы (относительно x₁-x₁ и x₂-x₂).

Для подкрановой ветви:

λ_x1^’ = 210/3,42 *√23 /2,06*10⁴=2,05< λ_y^’ =3,37, т.е. устойчивость обеспечена.

Для наружной ветви:

λ_x2^’ = 210/5,1 *√23 /2,06*10⁴=1,38< λ_y^’ =3,2, т.е. устойчивость обеспечена.

Расчет решетки подкрановой части колонны.

Поперечная сила в сечении колонны Q_max = 89 кН.

Условная поперечная сила для стали С235 может быть принята по табл.8.2.:

Q_fic ≈ 0,2А = 0,2*(100,8 + 61,25) = 32 кН < Q_max = 89 кН.

Расчет решетки проводим на Q_max.

Усилие сжатия в раскосе:

N_d = Q_max/2sinα = 89/2*0,82= 54 кН;

sinα = h_н/l_d = 150/√150² + (210/2)² = 0,82;

α = 55^о (угол наклона раскоса).

Задаемся λ_d = 100, λ_d^’ =100 *√23 /2,06*10⁴=3,34; ϕ = 0,574.

Требуемая площадь раскоса:

А_d.тр = N_d γ_n /(ϕR_yγ) = 54*0,95/(0,574*23*0,75) = 5,2 см²,

где R_y = 23 кН/см² (фасонный прокат из стали С235);

γ = 0,75 – сжатый уголок, прикрепляемый одной полкой.

Принимаем L80х6: А_d = 9,38 см², i_min = 1,58 см, ϕ = 0,415.

Напряжение в раскосе:

σ = N_d/ϕА_р = 54/0,415*9,38 = 13,9 кН/см² < R_yγ/γ_n = 23*0,75/0,95 = 18,2 кН/см².

Проверка устойчивости колонны в плоскости действия момента как единого стержня.

Геометрические характеристики всего сечения:

А = А_в1 + А_в2 = 61,25 + 100,8 = 162 см²;

I_x = А_в1y₁² + А_в2y₂² = 61,25*89,8² + 100,8*56² = 810031 см⁴;

i_x = √I_x/A = √810031/162 = 71 см;

λ_x = l_x1/i_x = 3230/71 = 45,5.

Предельная гибкость:

λ_ef = √λ_x² + α₁А/А_d1 = √45,5² + 25,8*162,2/24,6 = 47

где коэффициент α₁ зависит от угла наклона раскосов при α = 45…60^о можно принять α₁ = 25,8;

А_d1 = 2А_d = 2*9,38 = 18,76 см² – площадь сечения раскосов по двум граням сечения колонны.

λ _ef^’ = λ _ef √R_y/E = 47*√23/2,06*10⁴ = 1,57.

Для комбинации усилий, догружающих наружную ветвь (сечение 4-4), N₂ = 1292 кН, М₂ = 597 кНм:

m_x = (MA/NI_x)(y₂ + z_o) = (59700*162/1292*810031)*(56 + 4,2) = 0,56;

ϕ_e = 0,6; σ = N₂/ϕ_eА = 1101/0,6*162 = 11,3 кН/см² < R_y/γ_n = 24,2 кН/см².

Для комбинации усилий, догружающих подкрановую ветвь (сечение 3-3), N₁ = 1101 кН, М₁ = -542 кНм:

m_x = (MA/NI_x)y₁ = (54200*162/1101*810031)*89,8 = 0,88;

ϕ_е= 0,48; σ = N₁/ϕ_еА = 1101/0,48*162 = 14,2 кН/см² < R_y /γ_n = 24,2 кН/см².

Устойчивость сквозной колонны как единого стержня из плоскости действия момента проверять не нужно, так как она обеспечена проверкой устойчивости отдельных ветвей.