2.3.3.2. Линейчатые поверхности.

2.3.3.2.1. Развертывающиеся линейчатые поверхности 2.3.3.2.2. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности Как уже отмечалось, поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения - линейчатая поверхность, а сфера - нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида: 1) развертывающиеся поверхности; 2) неразвертывающиеся, или косые поверхности. Примечание. Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися. Рассмотрим несколько наиболее характерных разновидностей тех и других линейчатых поверхностей.

 

2.3.3.2.1 Развертывающиеся линейчатые поверхности

Рис. 2.3.19

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися. Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата. Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические (Рис. 2.3.19) .

Торсы

Возьмем некоторую пространственную ломаную линию 1, 2, 3, 4, 5, 6,... и продолжим ее стороны так, как показано на рис. 2.3.19, а. В результате получим двухполую многогранную развертываемую поверхность. При неограниченном увеличении числа сторон ломаной линии с одновременным стремлением длины каждой из них к нулю и переходе к пределу получим: Рис. 2.3.20

1) пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, б,...преобразуется в пространственную кривую линию m; 2) ребра многогранной поверхности преобразуются в касательные к пространственной кривой m; 3) многогранная поверхность преобразуется в линейчатую двухполую развертывающуюся кривую поверхность, которая называется торсом.

Множество всех касательных прямых к пространственной кривой представляет собой непрерывный каркас поверхности торса. Через каждую точку поверхности проходит одна касательная к кривой m. Таким образом, торс представляет собой поверхность, которая образуется непрерывным движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой линии. Направляющая пространственная кривая m (рис. 2.3.20, б) служит границей между двумя полостями поверхности торса и называется ребром возврата. Если взять на кривой m какую-либо точку В и провести через нее плоскость , пересекающую обе полости поверхности, то полученная в пересечении кривая АВС будет иметь так называемую точку возврата B. Следовательно, ребро возврата является множеством точек возврата кривых линий, полученных при пересечении данной поверхности различными плоскостями. Этим и объясняется ее название. Если ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия, то такая поверхность называется развертывающимся геликоидом. Так как углы наклона всех образующих этой поверхности к плоскости, перпендикулярной оси винтовой линии, одинаковы, она является поверхностью одинакового ската.

Плоскость, перпендикулярная оси поверхности, пересекает ее по эвольвенте окружности. Свойством развертываемости торс обладает потому, что он является пределом некоторой развертывающейся многогранной поверхности. Геометрическая часть определителя торса состоит из ребра возврата. Алгоритмическая часть определителя торса состоит из указания о том, что образующая прямая при своем движении остается касательной к ребру возврата. Если ребро возврата выродится в собственную точку пространства, то образующие торса, проходя через нее, образуют коническую поверхность произвольного вида. Если эта точка (вырожденное ребро возврата) будет несобственной точкой пространства, то образующие торса, проходя через нее, окажутся параллельными между собой и образуют цилиндрическую поверхность общего вида. Таким образом, цилиндрическая и коническая поверхности обладают свойством развертываемости, так как являются частными случаями поверхности торса. Однако, чтобы задать коническую или цилиндрическую поверхности, недостаточно иметь только ребро возврата (собственную или несобственную точку) - положение образующей прямой не определяется одной точкой. Необходимо задать еще направляющую линию. Рис. 2.3.20, 1 анимация

К вопросу о развертываемости кривой линейчатой поверхности можно подойти и с точки зрения дифференциальной геометрии, которая доказывает, что линейчатая поверхность является развертывающейся, если касательная плоскость, проведенная в какой-либо точке поверхности, касается ее по прямолинейной образующей поверхности, проходящей через эту точку. Таким свойством обладают только три вида поверхностей: торс, коническая и цилиндрическая. Анимационный рис. 2.3.20. 1 показывает кинематику формирования торса, у которого в качестве направляющей взята винтовая линия. Поверхность образована перемещением прямой по направляющей пространственной кривой ( винтовой линии). В процессе движения в каждый момент времени образующая прямая является касательной к направляющей.