Решение
1. Вычисление главных нормальных напряжений
-
Запись данных компонент в виде тензора напряжений
Подставив численные значения получим:
Tσ
=
(МПа).
1.2. Вычисление инвариантов тензора напряжений i1, i2, i3.
-
Первый инвариант вычисляется по формуле:
(2)
(МПа)
-
Второй инвариант вычисляется по формуле
(3)
(МПа)
-
Третий инвариант вычисляется по формуле
(4)
(МПа)
1.3. Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений
Кубическое уравнение запишем в виде:
(5)
После подстановки значений инвариантов получим
Первый корень кубического уравнения определим, например, подбором делителя для свободного члена уравнения (5): ±1 ... ±10 ... и т.д.
σ' = -43,090254
Правильность подбора первого корня б' проверим его подстановкой в уравнение (5).
Второй и третий корень определим, применив, например, теорему БЕЗУ, согласно которой кубическое уравнение типа (5) делится без остатка на величину (σ - σ '), где σ ' - первый корень, определённый подбором.
Применение этой теоремы позволяет не производить упомянутого деления вообще, а коэффициенты нового (теперь уже - квадратного уравнения, полученного в результате такой операции, определяют в последовательности, показанной в таблице 2.
Таблица 2- Определение коэффициентов квадратного уравнения
|
Исходное (кубическое) уравнение |
||||
|
— |
a0=+1 |
a1=±(I1) |
a2=±(I2) |
Свободный член a3=±(I3) |
|
— |
1 |
-150 |
-4700 |
156000 |
|
Искомое
(квадратное) уравнение:
|
||||
|
Первый корень σ'=-43,090254 |
a0=b0=+1 |
b1= σ'· b0+a1 |
b2= σ'· b1+a2 |
b3= σ'· b2+a3=0 |
|
b0=+1 |
b1=-43,090254·1+ +(-150) |
b2 = -43,090254* (-193,090254)+ +(-4700) |
b3 = -43,090254· · 3620,308174 + +156000 |
|
|
+1 |
-193,090254 |
3620,308174 |
5,95·10-6 |
|
При составлении квадратного уравнения на основании исходного (кубического) значения степени для "σ" кубического уравнения уменьшаются на единицу.
Второй и третий корни кубического уравнения (5) находим, решая квадратное уравнение.
Корни этого уравнения находятся по формуле
(6)
Вычисление корней квадратного уравнения
172,0477987
21,04245565
Корни этого квадратного уравнения являются вторым и третьим корнем кубического уравнения.
С учетом известного соотношения σ1> σ2> σ3 найденным корням кубического уравнения присваивают соответствующие индексы "1", "2", "3".
σ1=172,0477987 (МПа);
σ2=21,04245565 (МПа);
σ3=-43,090254 (МПа).
Выполним проверку найденных корней кубического уравнения
(7)
I1=172,0477987 +21,04245565 +(-43,090254)=150,00000035 (МПа)
(8)
I2= - [172,0477987 ·21,04245565 +21,04245565 ·(-43,090254)+
(-43,090254) ·172,0477987]=-[3620,3081738-906,7247587-7413,583346] 4699.999993= (МПа)
(9)
I3=172,0477987·21,04245565 ·(-43,090254)=155999,9987 (МПа)