2. Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам.
Аналитически направлявшие косинусы нормалей к главный площадкам с главными нормальными напряжениями σг (то есть σ1 или σ2 или σ3) определяют по формулам:
,
(10)
где
,
,
-направляющие
косинусы нормалей к соответствующей
главной площадке;
,
.
Значения
и
вычисляют
решая систему
(11)
2.1. Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки.
(12)
Найдем значения
и
,
решив два уравнения системы.
Каждое уравнение системы делим на a’3 и вводим обозначение
,
.
;
(13)
.
(14)
Подставив численные значения получим
;
.
Найдем значения направляющих косинусов для первой площадки
(15)
Выполним проверку полученных значений из условия что:
(16)
1,0=1,0
Посчитаем значение углов в градусах
α'1=arcos(
)=arcos(0,728835)=
43.21118°
α'2=
arcos(
)=arcos(-0,454598)=
117.03907°
α'3=
arcos(
)=arcos(0,511996)=
59.203126°
2.2. Вычисление направляющих косинусов нормалей для второй главной площадки.
(17)
Найдем значения
и
,
решив два уравнения системы.
Каждое уравнение системы делим на a’’3 и вводим обозначение
,
.
;
(18)
.
(19)
Подставив численные значения получим
;
.
Найдем значения направляющих косинусов для второй площадки
(20)
Выполним проверку полученных значений
Первую из условия что:
(21)
1,0=1,0
Вторую из условия что:
(22)
0=0
Посчитаем значение углов в градусах
α''1=arcos(
)=arcos(-0,370613)=111.753427°
α
''2=
arcos(
)=arcos(0.366828)=68.479875°
α''3=
arcos(
)=arcos(0,853278)=31.4299868°
2.3. Вычисление направляющих косинусов нормалей для третьей главной площадки.
(23)
Найдем значения
и
,
решив два уравнения системы.
Каждое уравнение системы делим на a’’’3 и вводим обозначение
,
.
;
(24)
.
(25)
Подставив численные значения получим
;
.
Найдем значения направляющих косинусов для третьей площадки
(26)
Выполним проверку полученных значений
Первую из условия что:
(27)
1,0=1,0
Вторую из условия что:
(28)
0=0
Посчитаем значение углов в градусах
α'''1=arcos(
)=arcos(-0,575713)=
125.1495793°
α'''2=
arcos(
)=arcos(-0.811651)=
144.2575536°
α'''3=
arcos(
)=arcos(0,098877)=
84325493°
Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей.
x
Направляющие косинусы главных площадок:
первый a1′= +0,7288; a2′= -0,3706; a3′= +0,51199;
α1′= 43,21°; α2′= 117,039°; α3′= 59,203°;
второй a1′′= -0,3706; a2′′=+0,3668; a3′′= +0,8532;
α1′′= 111,75°; α2′′= 68,48°; α3′′= 31,43°;
третий a1′′′= -0,5757; a2′′′= -0,811; a3′′′= +0,098;
α1′′′= 125,15°; α2′′′= 144,26°; α3′′′= 84,32°.
Рисунок 1 – Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей.