8.6.3. Выделение компонент сильной связности

Следующий алгоритм, основанный на методе поиска в глубину, находит все ком­поненты сильной связности орграфа.

Алгоритм 8.2. Выделение компонент сильной связности Вход: орграф G(V, Е), заданный списками смежности Г(г;).

Выход: список С компонент сильной связности, каждый элемент которого есть список вершин, входящих в компоненту сильной связности. С: = 0 for v e V do

M[v]: ={v} { M[v] список вершин, входящих в ту же КСС, что и v }

e[v]: = 0 { все вершины не рассмотрены } end for while V ф 0 do

select v g V { взять v из V }

Т <— v { положить v в стек }

е[г>]: = 1 { отметить v }

КСС { вызов процедуры КСС } end while

Основная работа выполняется рекурсивной процедурой без параметров КСС, которая использует стек Т для хранения просматриваемых вершин. Процедура КСС выделяет все КСС, достижимые из вершины, выбранной в основном алго­ритме.

if Т = 0 then

return{ негде выделять }

end if

v <— Т; v —» Т { стоим в вершине г>} if T[v] П V = 0 then

C: = C\JM[v] {этоКСС } V : = V \ {v} { удалить вершину } v «— Т { снять г) со стека } КСС { возврат из тупика } else

for и 6 Г[г>] do if e[u] = 0 then u —> Г { положить и в стек } е[и]: = 1 { отметить и } else repeat

w <— Т { ш — склеиваемая вершина } \/ _: = V \ {w} { удалить ее } Г [и]: = Г [и] U Г [ад] { запомнить смежность } М[и] : = М[и} U М[го]{ склеивание вершин } until и = w

w —>• Т{ чтобы не убрать ту вершину, } V : = V U {w}{ к которой слили } end if

КСС { поиск в глубину }

end for

end if

Кратчайшие пути

Задача нахождения кратчайшего пути в графе имеет столько практических при­менений и интерпретаций, что читатель, без сомнения, может сам легко привести множество примеров. Здесь рассматриваются два классических алгоритма, кото­рые обязан знать каждый программист.

8.7.1. Длина дуг

Алгоритм Уоршалла позволяет ответить на вопрос, существует ли цепь (и, и). Часто нужно не только определить, существует ли цепь, но и найти эту цепь. Если задан орграф G(V, E), в котором дуги помечены числами (эти числа обычно называют весами, или длинами, дуг), то этот орграф можно представить в виде матрицы весов (длин) С:_{ О, для г = j Cij, конечная величина, если есть дуга из г в j, оо, если нет дуги из г в j.

Длиной пути называется сумма длин дуг, входящих в этот путь. Наиболее часто на практике встречается задача отыскания кратчайшего пути.

8.7.2. Алгоритм Флойда

Алгоритм Флойда находит кратчайшие пути между всеми парами вершин в (ор)графе. В этом алгоритме для хранения информации о путях используется матрица Н[1..р, 1..р], где

., _ J k, если k— первая вершина, достигаемая на кратчайшем пути из г в j; (О, если из i в j нет пути.

ОТСТУПЛЕНИЕ

Матрица Н размера О(р²) хранит информацию обо всех (кратчайших) путях в графе. Заметим, что всего в графе О(р²) путей, состоящих из О(р) вершин. Таким образом, не­посредственное представление всех путей потребовало бы памяти объема О(р³). Эконо­мия памяти достигается за счет интерпретации представления, то есть динамического вычисления некоторой части информации вместо ее хранения в памяти. В данном слу­чае любой конкретный путь (и, v) легко извлекается из матрицы с помощью следующего алгоритма.

w: =u; yield w{ первая вершина }

while w ^ v do

w : = H[w, v}; yield w{ следующая вершина }

end while

Алгоритм 8.З. алгоритм Флойда Вход: матрица С[1..р, 1..р] длин дуг.

Выход: матрица Т[1..р,1..р] длин путей и матрица Н[1..р,1..р] самих путей. for г from I to p do for j from 1 to p do T[i,j] : = C[i,j] { инициализация } if C[iJ] = 00 then

H[i,j\: = 0 { нет дуги из г в j } else

H[i,j] -=j{ есть дуга из г в j } end if end for end for

for г from 1 to p do for j from 1 to p do for fc from 1 to p do

if г + jkT{j,i] / <х>&г ф k&T{i,k] / oo&(T[j,fc] = ooVT[j,k] > T\ then

H[j, k]: = H[j, i] { запомнить новый путь } T[j, k]: = T[j, i] + T[i, k} { и его длину } end if end for end for

for j from 1 to p do ^if T,j <0then

stop { нет решения: вершина j входит в цикл отрицательной длины } end if end for end for

ЗАМЕЧАНИЕ -

Если в G есть цикл с отрицательным весом, то решения поставленной задачи не суще­ствует, так как можно «накручивать» на этом цикле сколь угодно короткий путь.

обоснование

Алгоритм Флойда имеет много общего с алгоритмом Уоршалла (алгоритм 1.8). Покажем по индукции, что после выполнения г-го шага основного цикла по г элементы матриц T\j,k\ и H[j,k] содержат, соответственно, длину кратчайшего пути и первую вершину на кратчайшем пути из вершины j в вершину k, про­ходящем через промежуточные вершины из диапазона 1..г. База: г = 0, то есть до начала цикла элементы матриц Т и Н содержат информацию о кратчайших путях (если таковые есть), не проходящих ни через какие промежуточные вер­шины. Пусть теперь перед началом выполнения тела цикла на г-м шаге T[j, k] содержит длину кратчайшего пути от j к k , a H[j,k] содержит первую вершину на кратчайшем пути из вершины j в вершину k (если таковой есть). В таком случае, если в результате добавления вершины г к диапазону промежуточных вершин находится более короткий путь (в частности, если это вообще первый найденный путь), то он записывается. Таким образом, после окончания цикла, когда г = р, матрицы содержат кратчайшие пути, проходящие через промежуточ­ные вершины 1..р, то есть искомые кратчайшие пути. Алгоритм не всегда выдает решение, поскольку оно не всегда существует. Дополнительный цикл по j служит для прекращения работы в случае обнаружения в графе цикла с отрицательным весом.