8.5.4. Алгоритм нахождения максимального потока

Следующий алгоритм определяет максимальный поток в сети, заданной матри­цей пропускных способностей дуг. Этот алгоритм использует ту же идею доказа­тельства теоремы Форда и Фалкерсона, а именно, задавшись начальным прибли­жением потока, определяется множество вершин S, которые соединены аугмен-тальными цепями с источником s. Если оказывается, что t e S, то это означает, что поток не максимальный и его можно увеличить на величину 8. Для опреде­ления аугментальных цепей и одновременного подсчета величины 8 в алгоритме использована вспомогательная структура данных:

Р • array [l..p] of record

s : enum (—,+) { «знак», то есть направление дуги }

п : 1..р { предшествующая вершина в аугментальной цепи }

S : real { величина возможного увеличения потока } end record

Алгоритм 8.1. Нахождение максимального потока

Вход: сеть G(V, Е) с источником s и стоком t, заданная матрица пропускных способно­стей С : array [l..p, l..p] of real.

Выход: матрица максимального потока F : array [l..p, l..p] of real, for u, v € V do

p[_{Uj v}]: = 0{ вначале поток нулевой } end for

M : { итерация увеличения потока } for v е V do

S{v] : = Q;N[v}: = 0;P[v] :=(,,) { инициализация } end for

S[s]: = 1; P[s]: =(+, s, oo){ так как s € S } repeat

a: = 0{ признак расширения 5 } for и е У do

if SM = l&N[v] =0then for u e I» do

if S[u] = 0&F[v,u} < C[v,u] then

S[u]: = 1; P[u]: =(+, v, mm(P[v}.5, C[v, u] - F[v, u])); a : = 1 end if end for forueT-¹^) do

if 5[и] =OkF[u,v] >0then

S[u]: = 1; P[u]: =(-,v, mm(P[v].S, F[u, v})); a: = 1 end if end for N[v]: = 1 end if end for if S[t] then

x:'=i;5:*=P[ti.S while x ^ s do if P[x].s=* + then

F[P[x}'.n,x]: = F[P[x].n, x}+6 else

F[x,P[x].n}: = F[x,P(x].n}-5 end if x: = P[x].n end while goto M end if until a = 0

обоснование

В качестве первого приближения берется нулевой поток, который по опре, нию является допустимым. В основном цикле, помеченном меткой М, дел ся попытка увеличить поток. Для этого в цикле repeat расширяется, пока э возможно, множество S вершин, достижимых из вершины s по аугментальнь цепям. При этом, если в множество 5 попадает вершина t, то поток вдоль най­ денной аугментальной цепи (s,t) немедленно увеличивается на величину 6, и начинается новая итерация с целью увеличить поток. Процесс расширения мно­ жества S в цикле repeat заканчивается, потому что множество вершин конечно, а отмеченные в массиве N вершины повторно не рассматриваются. Если про­ цесс расширения множества S заканчивается и при этом вершина t не попадает в множество S, то по теореме Форда и Фалкерсона найденный поток F является максимальным и работа алгоритма завершается. П

ЗАМЕЧАНИЕ

Приведенный алгоритм не является самым эффективным. Более подробное изложение известных методов можно найти, например, в [14J или в [11].

Связь между теоремой Менгера и теоремой Форда и Фалкерсона

Теорема Менгера является фундаментальным результатом, который проявляется в различных формах (см., например, задачи 8.4.1, 8.4.2, 8.4.3). Теорема Форда и Фалкерсона также может быть получена из теоремы Менгера. Далее приведена схема неконструктивного доказательства теоремы Форда и Фалкерсона на основе теоремы Менгера. Сначала нужно получить вариант теоремы Менгера в ориен­тированной реберной форме: наибольшее число (s,t)-путей, непересекающихся по дугам, равно наименьшему числу дуг в (s, £)-разрезе. Это теорема Форда и Фалкерсона в том случае, когда Ve е Е С(е) = 1. Действительно, пусть Q -множество дуг из максимального набора непересекающихся (s,t)-путей. Назна­чим f(e): = 1, если е е Q, и f(e): = 0, если е £ Q. Это поток, так как дивергенция в любой вершине равна 0 и поток через дугу не превосходит пропускной способ­ности. Величина этого потока равна k ^ d⁺(s), где k — число дуг, выходящих из s, которые начинают пути из Q. Этот поток максимальный. Действительно, если положить f(e]: = о > 0 для е & Q, то

1. если дуга е входит в вершину, входящую в пути из Q, или выходит из такой вершины, то нарушается условие потока (дивергенция -а или +а, соответ­ ственно);

2. если вновь назначенные дуги с ненулевыми потоками образуют новый (s,t)- путь, то это противоречит выбору Q.

Пусть теперь пропускные способности суть натуральные числа. Тогда можно про­вести аналогичные рассуждения для мультиграфов, считая, что вместо одной ду-и с пропускной способностью п имеется п дуг с пропускной способностью 1. Если пропускные способности — рациональные числа, то их можно привести к общему знаменателю и свести задачу к предыдущему случаю.

Для вещественных пропускных способностей заключение теоремы можно полу­чить путем перехода к пределу в условиях предыдущего случая.

ОТСТУПЛЕНИЕ -

Приведенное в разделе 8.5.3 доказательство теоремы Форда и Фалкерсона конструктивно, из него не только следует заключение о величине максимального потока, но и извлекается способ нахождения максимального потока.

Связность в орграфах

Связность является одним из немногих понятий, которые не распространяются непосредственно с графов на другие родственные объекты и требуют отдельного определения и рассмотрения.

Сильная, односторонняя и слабая связность

В неориентированном графе две вершины либо связаны (если существует со­единяющая их цепь), либо не связаны. В ориентированном графе отношение связанности вершин несимметрично, а потому определение связности отличает­ся.

Пусть G(V, Е} — орграф, vi и v₂ — его вершины. Говорят, что две вершины v\ и V2 сильно связаны в орграфе G, если существует путь (ориентированная цепь) из v\ в г>₂ и из V2 в vi. Говорят, что две вершины v\ и v₂ односторонне связаны в орграфе G, если существует путь либо из v_: в v₂, либо из v₂ в v\. Говорят, что две вершины v\ и v₂ слабо связаны в орграфе G, если они связаны в графе G', полученном из G отменой ориентации ребер. Если все вершины в орграфе силь­но (односторонне, слабо) связаны, то орграф называется сильно (односторонне, слабо) связным. Сильная связность влечет одностороннюю связность, которая влечет слабую связность. Обратное неверно.

Пример на рис. 8.6. показаны диаграммы сильно, одностороннее и слабо связанных орграфов.

рис. 8.6.Сильная (слева), односторонняя (в центре) и слабая (справа) связность

. Компоненты сильной связности

Компоненты сильной связности (КСС) орграфа G — это его максимальные сильно связные подграфы.

Каждая вершина орграфа принадлежит только одной КСС. Если вершина не связана с другими, то считаем, что она сама образует КСС. Конденсацией G* орграфа G (или графом Герца, или фактор-графом) называется орграф, который получается стягиванием в одну вершину каждой КСС орграфа G.

Пример

На рис. 8.7 показаны диаграммы орграфа и его конденсации.

Рис. 8.7. Оргаф (слева) и его фактор-граф (справа)