11.3. Доминирующие множества

Задача о наименьшем покрытии (сокращенно ЗНП) является примером общей экстремальной задачи, к которой прямо или косвенно сводятся многие практи­ческие задачи. Эта задача является классической, хорошо изучена и часто ис­пользуется в качестве теста для сравнения и оценки различных общих методов решения трудоемких задач.

В этом разделе на основе рассмотрения понятия доминирующего множества ЗНП формулируется в различных вариантах, и приводятся сведения о связи ЗНП с другими задачами.

11.3.1. Определения

Для орграфа G(V, Е) множество вершин S с V называется доминирующим мно­жеством, если 5 U Г(5) = V, то есть для любой вершины v е V либо v & S, либо существуют вершина s е S и ребро (s,v).

Доминирующее множество называется минимальным, если его подмножество не является доминирующим. Доминирующее множество называется наименьшим, если число элементов в нем минимально.

Пример

Известная задача о пяти ферзях (расставить на шахматной доске 5 ферзей так, чтобы они били всю доску) является задачей об отыскании наименьших доми­нирующих множеств.

11.3.2. Доминирование и независимость

Доминирование тесно связано с вершинной независимостью.

ТЕОРЕМА Независимое множество вершин является максимальным тогда и только тогда, когда оно является доминирующим.

доказательство

Необходимость. Пусть множество вершин 5 (5 с V) — максимальное незави­симое. Допустим (от противного), что оно не доминирующее. Тогда существует вершина v, находящаяся на расстоянии больше 1 от всех вершин множества S.

Эту вершину можно добавить к S с сохранением независимости, что противоре­чит максимальности.

Достаточность. Пусть S — независимое доминирующее множество. Допустим (от противного), что оно не максимальное. Тогда существует вершина v, не смежная ни с одной из вершин множества 5, то есть находящаяся на расстоянии боль­ ше 1 от всех вершин множества S. Это противоречит тому, что множество S — доминирующее.

Независимое доминирующее множество вершин называется ядром графа.

11.3.3. Задача о наименьшем покрытии

Рассмотрим следующую задачу. Пусть каждой вершине сопоставлена некоторая цена. Требуется выбрать доминирующее множество с наименьшей суммарной це­ной. Эта задача называется задачей о наименьшем покрытии (сокращенно ЗНП).

ЗНП является весьма общей задачей, к которой сводятся многие другие задачи.

Пример

Задача о выборе переводчиков. Организации нужно нанять переводчиков для перевода с определенного множества языков. Каждый из имеющихся перевод­ чиков владеет некоторыми иностранными языками и требует определенную зарплату. Требуется определить, каких переводчиков следует нанять, чтобы сумма расходов на зарплату была минимальной.

Задача о развозке. Поставщику нужно доставить товары своим потребителям. Имеется множество возможных маршрутов, каждый из которых позволяет об­ служить определенное подмножество потребителей и требует определенных расходов. Требуется определить, какие маршруты следует использовать, что­ бы все потребители были обслужены, а сумма транспортных расходов была минимальной.