12.3.2. Приближенный алгоритм последовательного раскрашивания

В предыдущем подразделе алгоритм точного раскрашивания был построен на основе алгоритма выделения максимальных независимых множеств вершин, ко­торый имеет переборный характер. Таким образом, алгоритм точного раскраши­вания также имеет переборный характер. В таких случаях целесообразно рас­сматривать приближенные алгоритмы, которые не всегда находят точное реше­ние задачи (иногда они находят только приближение к нему, и мы не можем знать этого заранее), но зато достаточно эффективны. Рассмотрим следующий алгоритм последовательного раскрашивания.

Алгоритм 12.1. Алгоритм последовательного раскрашивания Вход: граф G.

Выход: раскраска графа — массив С : array [l..p] of l..p. for v € V do

C[v]: = 0 { все не раскрашены } end for for v e V do

A: ={!,... ,p} { все цвета } for u e T+(v) do

A: = A\{C[u]} { занятые для v цвета } end for

C[v] : = ттА { минимальный свободный цвет } end for

ЗАМЕЧАНИЕ

Таким образом, красить вершины необходимо последовательно, выбирая среди допусти­мых цветов минимальный.

обоснование

В основном цикле рассматриваются все вершины, и каждая из них получает допустимую раскраску, таким образом, процедура строит допустимую раскраску.

12.3.3. Улучшенный алгоритм последовательного раскрашивания

Следующий алгоритм также строит допустимую раскраску, применяя такую эв­ристику: начинать раскрашивать следует с вершины наибольшей степени, по­скольку, если их раскрашивать в конце процесса, то более вероятно, что для них не найдется свободного цвета и придется задействовать еще один цвет.

Алгоритм 12.2. Улучшенный алгоритм последовательного раскрашивания Вход: граф G.

Выход: раскраска графа — массив С : array [i..p] of 1..p. Sort(v) { упорядочить вершины по невозрастанию степени } с: = 1 { первый цвет } for и 6 V do

C[v]: = 0 { все не раскрашены } end for

while V ф 0 do for v e V do for и е r⁺(v) do if C[u] = с then

next for v { вершину v нельзя покрасить в цвет с } end if end for

C[v] : = c { красим вершину v в цвет с } V : = V\ {v} { и удаляем ее из рассмотрения } end for

с: = с + 1 { следующий цвет } end while

обоснование

Заметим, что данный алгоритм отличается от предыдущего тем, что основной цикл идет не по вершинам, а по цветам: сначала все что можно красим в цвет 1, затем в оставшемся красим все что можно в цвет 2 и т. д. В остальном алго­ ритмы аналогичны, и данный алгоритм заканчивает свою работу построением допустимой раскраски по тем же причинам, что и предыдущий.

Комментарии

Центральный результат этой главы — теорема о пяти красках — изложен по книге [23]. Алгоритмы раскрашивания изложены по книге [11], в которой мож­но найти их более детальное и подробное обсуждение. Различные применения задачи о раскраске графов в программировании и смежные вопросы освещены в [5].

Упражнения

12.1. Доказать, что

12.2. Доказать, что если в планарном графе каждая грань есть С_п, то

₌ "(Р - 2) п-2

12.3. Построить примеры графов, для которых алгоритмы последовательного раскрашивания строят не минимальную раскраску.