5.8.2.Метод Ньютона
Задано:
,
и
.
При использовании этого метода нелинейное
уравнение должно быть приведено к виду
.
Введем обозначения:
- левая часть нелинейного уравнения;
– первая производная от
;
.
Так как вычисления
искомого значения
производится в этом методе иначе, чем
в методе простой итерации, то значения
могут использоваться без индексов.
Анализ нахождения искомого значения
можно упростить. Это несложное
доказательство оставляется студентам.
Итак, алгоритм решения.
-
Задаем значение
-
Вычисляется
. -
Вычисляется
. -
Определяется
. -
Проверяется условие
Если условие
выполняется, то
- искомый корень, в противном случае
следует повторить цикл с п.2.
5.8.3.Метод деления пополам
Задано:
,
и интервал
,
где существует корень.
При использовании
этого метода интервал
изменяется таким образом, чтобы оказался
в
-окрестности
искомого корня, который может находиться
как справа, так и слева от искомого
.
Поэтому условием нахождения искомого
корня x
следует считать выполнение условия
.
Для перемещения
или
интервала
используется теорема Больцмана-Коши
(о существовании корня внутри интервала):
,
т.е. корень существует, если произведение функций при значениях концов интервала является отрицательным.
Алгоритм решения следующий.
-
. -
Вычисляется
. -
Вычисляется
(или
). -
Анализ
.
Если
,
то выход из цикла; в противном случае
п.5. -
Анализ интервала
.
Если условие выполняется, то выход из
цикла; в противном случае надо сдвигать
интервал по п.6. -
Анализируется
.
Если
,
то
;
в противном случае
. -
Вычисления отправляются к п.1 (через GOTO).
Задание 1.
-
Составить схему алгоритма для вычисления функций, приведенных в таблице 5.6.
-
Написать программу на языке BASIC.
-
Произвести расчеты на микроЭВМ.
-
Распечатать листинг программы.
-
Исходные данные, промежуточные и окончательные результаты вывести на экран монитора и на печатающее устройство.
Задание 2.
-
Составить схему алгоритма для вычисления функций, приведенных в таблице 5.7.
-
Выполнить пп. 2 – 5 задания 1.
Таблица 5.6. Список заданий
|
Вариант |
Функции |
Исходные данные |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
Таблица 5.7. Список заданий
|
Вариант |
Функции |
Исходные данные |
|
1 |
причем х – корень нелинейного уравнения ln x – x + 1,8 = 0, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью . |
a = 1 b = 4 c = 3 = 10-4 Интервал существования корня [1,7; 3,3] |
|
2 |
причем х – корень нелинейного уравнения x – sin x = 0,25, которое необходимо решить любым методом с точностью при начальном значении x0. |
a = 2,23 b = 13,12 = 10-5 x0 = 1,17 |
|
3 |
причем х – корень нелинейного уравнения x = e-x, которое необходимо решить методом Ньютона с точностью при начальном значении x0. |
a = 3,17 b = 7,51 = 10-4 x0 = 0 |
|
4 |
причем х – корень нелинейного уравнения x2 – sin 5x = 0, которое необходимо решить методом Ньютона с точностью при начальном значении x0. |
a = 0,71 b = 2,23 = 10-3 x0 = 0,58 |
|
5 |
причем х – корень нелинейного уравнения x – sin x = 0,25, которое необходимо решить методом простой итерации с точностью при начальном значении x0. |
a = 1,21 b = 10,01 = 10-4 x0 = 1,18 |
|
6 |
причем х – корень нелинейного уравнения x = e-x, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью . |
a = 1,05 b = 10,1 = 10-5 Интервал существования корня [-1; 1] |
|
7 |
причем х – корень нелинейного уравнения x – sin2 x = 0,25, которое необходимо решить методом простой итерации с точностью при начальном значении x0. |
a = 3,01 b = 8,15 = 10-4 x0 = 1,16 |
|
8 |
причем х – корень нелинейного уравнения x2 – sin 5x = 0, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью . |
a = 2,25 b = 7,15 = 10-5 x0 = 1,17 |
|
9 |
причем х – корень нелинейного уравнения x3 – cos 2x = 0, которое необходимо решить методом Ньютона с точностью при начальном значении x0. |
a = 1,75 b = 3,25 = 10-5 Интервал существования корня [-5; 2] |
|
10 |
причем х – корень нелинейного уравнения 10x = lnx+ex, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью . |
a = 1,96 b = 1,05 = 10-5 Интервал существования корня [-2,7; 4,3] |
