5.7. Класи лишкiв, повна I зведена системи лишкiв за даним модулем

Номери ваших індивідуальних завдань обчислюються за формулою (А + 25k)(mod77), k = 0  5, де A  порядковий № за журналом,  порядковий номер навчальної групи. Вибираються номери записані нежирним шрифтом.

Зміст задач та завдань

7.5. Замiнити найменшим невiд’ємним i найменшим за абсолютною величиною лишками такi числа:

5.7.1. а) 70 за модулем 32; 5.7.8. ж) 5353 за модулем 781;

5.7.2. б) 327 за модулем 30; 5.7.9. з) –337 за модулем 56;

5.7.3. в) 184 за модулем 16; 5.7.10. к) 337 за модулем –56;

5.7.4. г) 333 за модулем 67; 5.7.11. л) 1000 за модулем –17;

5.7.5. д) 586 за модулем 13; 5.7.12. м) 501 за модулем 503

5.7.6. е) 799 за модулем 99; 5.7.13. н) –700 за модулем –55.

5.7.7. є) 14 за модулем 15;

7.2. Знайти повну систему найменших невiд’ємних лишкiв за модулями: 5.7.14. а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5;

5.7.15. е) 6; є) 7; ж) 8; з) 9;

5.7.16. к) 10; л) 12; м) 15; н) 20.

7.3. Знайти повну систему найменших за абсолютною величиною лишкiв за модулями:

5.7.17. а) 1; б) 2; в) 3;

5.7.18. г) 4; д) 5; е) 6;

5.7.19. є) 7; ж) 8; з) 9;

5.7.20. к) 10; л) 12; м) 15; н) 20.

7.4. Знайти повну систему найменших натуральних лишкiв за модулями: 5.7.21. а) 1; б) 2; в) 3;

5.7.22. г) 4; д) 5; е) 6;

5.7.23. є) 7; ж) 8; з) 9;

5.7.24. к) 10; л) 12; м) 15; н) 20.

7.5. Знайти повну систему найбiльших недотатних лишкiв за модулями: 5.7.25. а) 1; б) 2; в) 3;

5.7.26. г) 4; д) 5; е) 6;

5.7.27. є) 7; ж) 8; з) 9;

5.7.28. к) 10; л) 12; м) 15; н) 20.

7.6. Знайти повну систему найбiльших вiд’ємних лишкiв за модулями: 5.7.29. а) 1; б) 2; в) 3;

5.7.30. г) 4; д) 5; е) 6;

5.7.31. є) 7; ж) 8; з) 9;

5.7.32. к) 10; л) 12; м) 15; н) 20.

7.7. Знайти хоч одну довiльну повну систему лишкiв, вiдмiнну вiд найменших невiд’ємних лишкiв за модулями:

5.7.33. а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;

5.7.34. д) 5; е) 6; є) 7;

5.7.35. ж) 8; з) 9; к) 10;

5.7.36. л) 12; м) 15; н) 20.

7.8. Знайти зведену систему лишкiв за модулями.

5.7.37. а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5;

5.7.38. е) 6; є) 7; ж) 8; з) 9;

5.7.39. к) 10; л) 12; м) 15; н) 20.

7.9. Чи утворюють повну систему лишкiв за модулем m такi числа:

5.7.40. а) 25, 20, 16, 54, 21, 26, 37, 17, якщо m = 8;

5.7.41. б) 25, 9, 6, 420, 18, 30, 6, якщо m = 7;

5.7.42. в) 46, 45, 37, 32, 48, 40, якщо m = 6;

5.7.43. г) 43 ,25 ,23, 28, 50, 40, 31, якщо m = 7;

5.7.44. д) 261, 130, 170, 313, 973, 1000, 55, 1668, якщо m = 8;

5.7.45. е) 605, 189, 242, 311, 143, 40, 51, 194, якщо m = 8;

5.7.46. є) 809, 402, 1616, 220, 227, 439, 446, якщо m = 8;

5.7.47. ж) 921, 92, 18, 28, 109, 40, 22, 2, 15, якщо m = 9;

5.7.48. з) 134, 128, 19, 37, 28, 23, 32, 5, 41, 35, 33, якщо m = 11;

5.7.49. к) 39, 66, 30, 19, 11, 55, 31, 46, 25, 47, 50, 35, 101, якщо m = 13?

7.10. Чи утворюють зведену систему лишкiв за модулем m такi числа:

5.7.50. а) 19, 1, 25, 19, якщо m = 8;

5.7.51. б) 19, 95, 29, 49, 20, 64, 27, якщо m = 9;

5.7.52. в) 13, 13, 29, 29, якщо m = 10;

5.7.53. г) 19, 35, 25, 19, якщо m = 12;

5.7.54. д) 11, 55, 29, 35, якщо m = 12;

5.7.55. е) 181, 231, 413, 349, якщо m = 12?

7.15. Довести, що:

5.7.56. а) коли х пробiгає повну систему лишкiв за модулем 11, то й 3х + 2 теж пробiгає повну систему лишкiв за модулем 11;

5.7.57. б) коли х пробiгає повну систему лишкiв за модулем 10, то й х⁵ теж пробiгає повну систему лишкiв за модулем 10;

5.7.58. в) система чисел 2, 4, . . ., 2m становить повну систему лишкiв за модулем m, якщо m непарне;

5.7.59. г) члени арифметичної прогресiї а, a + d, . . . , a + d(n - 1) утворюють повну систему лишкiв за модулем n, якщо (d, n) = 1;

5.7.60. д) коли (d, n) = 1, х пробiгає повну систему лишкiв за модулем b, y пробiгає повну систему лишкiв за модулем a, а с  будь-яке число, то ax+by+c пробiгає повну систему лишкiв за модулем ab;

5.7.61. е) коли m = a₁a₂a_s, де всi а_i попарно взаємно простi, m_i = , i = 1,2,...,s, c  довiльне цiле число, х_i пробiгають вiдповiдно повнi системи лишкiв за модулем m_i, то m₁x₁ + m₁x₂ +...+ m_sx_s + c пробiгає повну систему лишкiв за модулем m;

5.7.62. є) система чисел 0, 2¹, 2², . . . , 2¹⁰ утворює повну систему лишкiв за модулем 11;

5.7.63. ж) вираз 3х + 7у пробiгає повну систему лишкiв за модулем 21, якщо х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а у = 0, 1, 2;

5.7.64. з) повну систему лишкiв за модулем m₁·m₂m_s пробiгає вираз х₁ + + m₁x₂ + + m₁m₂x₃ + . . . + m₁m₂...m_sx_s, якщо m₁, m₂, . . . , m_s  натуральнi, попарно взаємно простi числа, а х₁, х₂, . . . , x_s пробiгають повнi системи лишкiв за модулями m₁, m₂, . . . , m_s вiдповiдно.

7.12. Довести, що:

5.7.65. а) коли х пробiгає зведену систему лишкiв за модулем 7, то й 10х пробiгає зведену систему лишкiв за модулем 7;

5.7.66. б) коли х пробiгає зведену систему лишкiв за модулем 9, то 7х⁵ теж пробiгає зведену систему лишкiв за модулем 9;

5.7.67. в) числа 6m  1 i 6m + 1 при кожному цiлому m утворюють зведену систему лишкiв за модулем 6;

5.7.68. г) система чисел 1, 2, . . . ,  є зведеною системою лишкiв за непарним простим модулем р;

5.7.69. д) система чисел 3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, 3⁶ утворює зведену систему лишкiв за модулем 7;

5.7.70. е) система чисел 5¹, 5², 5³, 5⁴, 5⁵, 5⁶ утворює зведену систему лишкiв за модулем 7;

5.7.71. є) коли числа ах₁, ах₂, . . . , ах_(m) утворюють зведену систему лишкiв за модулем m, то вiдповiднi числа х₁, х₂, . . . , х_(m) також утворюють зведену систему лишкiв за модулем m;

5.7.72. ж) якщо (a,m) = 1, b  0 (mod m) i x пробiгає зведену систему лишкiв за модулем m, то ах + b також пробiгає зведену систему лишкiв за модулем m;

5.7.73. з) якщо (a,m) = d i x пробiгає зведену систему лишкiв за модулем , то також пробiгає зведену систему лишкiв за модулем ;

5.7.74. к) = , де р  просте число, а не дiлиться на р.

7.13. Об’єднанням яких класiв лишкiв є класи лишкiв:

5.7.75. а) за модулем 48;

5.7.76. б) за модулем 52;

5.7.77. в) за модулем 30.