Тема 3. Теорія порівнянь

3.7. Класи лишкiв, повна I зведена системи лишкiв за даним модулем

1. Чи утворює повну систему лишкiв за модулем 8 система чисел

S = {7,2,16,20,27,39,46, 3} ?

Р о з в’я з а н н я. Щоб визначити, чи є деяка система чисел повною системою лишкiв за деяким модулем m, треба: 1) впевнитися, що цих чисел є m, 2) показати, що всi вони мiж собою попарно непорівнянні за модулем m. При цьому доцiльно замiнити кожне з чисел порівняним з ним найменшим невiд’ємним числом (це неважко зробити, знайшовши остачу вiд дiлення заданого числа на модуль).

У розглядуваному прикладi маємо: 1) чисел у системi є 8; 2) 7  1 (mod 8), , 16  0 (mod 8), 20  4 (mod 8), 27  3 (mod 8), 39  7 (mod 8), , 3  5 (mod 8). Дiстали нову систему 1,2,0,4,3,7,6,5, яка є повною системою лишкiв за модулем 8.

Зауваження. 1. Якщо модуль m є невелике число, то можна знайти всi попарнi рiзницi заданих чисел i довести їхню подiльнiсть на m. Якщо жодна з рiзниць не дiлиться на m, то задана сукупнiсть чисел є повною системою лишкiв за модулем m, у противному разi – не є нею;

2. Замiнивши кожне число системи S його остачею вiд дiлення на 8, визначимо, до якого класу належить кожне число iз системи S, a саме: , 2, 16 , 20 , 27 , 39 , 46, 3 . Оскiльки всi числа з S належать до рiзних класiв за модулем 8 i всi класи мають представникiв у цiй системi, то S - повна система лишкiв за модулем 8.

2. Показати, що коли х пробiгає систему лишкiв за модулем 10, то й х³ пробiгає зведену систему лишкiв за модулем 10.

Р о з в’я з а н н я. Вiдомо, що числа зведеної системи лишкiв взаємно простi з модулем. Взаємно простими з 10 є лише такi цiлi числа, якi закiнчуються цифрами 1, 3, 7, 9. Четвірки S таких чисел попарно непорівнянi мiж собою за модулем 10, а оскiльки (10) = (25) == 4, то S  зведена система лишкiв за модулем 10. Нехай х пробiгає довiльну зведену систему лишкiв за модулем 10. Якщо числа системи S, що закiнчуються цифрами 1, 3, 7, 9, пiднести до куба, то дiстанемо систему чисел, якi закiнчуються цифрами 1, 3, 7, 9. Цю систему й пробiгає х³. Система також утворює зведену систему лишкiв за модулем 10, оскiльки: a) чисел у системi є , б) усi числа системи попарно непорівнянні мiж собою за модулем 10, в) усi числа системи взаємно простi з числом 10.

Тема 3. Теорія порівнянь

3.8 Теореми Ейлера і Ферма. Китайська теорема про остачи. Переведення чисел із позиційної системи числення у систему лишкових класів та навпаки

1. Знайти остачу від ділення: а) на 52; б) на 138.

Р о з в я з а н н я.

а) Якщо треба знайти остачу від ділення на m, де і , то s можна подати у вигляді (за теоремою про ділення з остачею): , де . Оскільки , то

,

де може бути значно меншим ніж .

У цьому разі маємо

, ,

, .

Тоді

.

Зауваження. Обчислення в багатьох випадках можна суттєво зменшити, якщо скористатися китайською теоремою про остачи. Наприклад, у наведеному вище прикладі число можна обчислити таким чином. З того що 52 = 413 маємо . Аналогічно для числа (модуля) 13 знаходимо , тому що за теоремою Ейлера для і виходить, що . Таким чином, число подається у системі лишкових класів за двома модулями 4, 13 у вигляді = (3, 7). Для обчислення ортогональних базисів (при використанні взаємно простих модулів 4 і 13) маємо два порівняння і , з котрих легко знаходимо , і отже , . В результаті маємо  (3, 1) .

б) якщо і , то знаходимо спочатку таке найменше k, що . Тоді , де вже . Позначимо через x остачу від ділення на m. Тоді

.

Звідси , де .

Тепер х₁ знайдемо як добуток остач від ділення і а₁ на m_5. Оскільки (a,m₁) = 1, то остачу від ділення на m₁ можна знайти за теоремою Ейлера. Маємо (264, 138) = 6. Якщо , то х = 6х_5. Оскільки , то . Найменшим k таким, що , є 5. Тоді , і . Оскільки і 1019 = 2246 + 7, то маємо  .

Тоді х = 96 = 54. Отже, при діленні на 138 дає остачу 54.

2. Знайти останні дві цифри числа 243⁴⁰².

Р о з в’я з а н н я. Досить знайти остачу від ділення 243⁴⁰² на 100. Маємо Оскільки (43, 100) = 1, а

,

то Оскільки 402 = 4010+2, то

Отже, останніми двома цифрами числа 243⁴⁰² є 4 і 9.

Зауваження. Щоб знайти k останніх цифр числа а, досить знайти остачу від ділення цього числа на 10^к.

3. Довести, що

Д о в е д е н н я. Оскільки а 89 – просте число, то досить показати, що на 89 ділиться хоч один з множників 13⁸⁸1 чи 13⁸⁸ +5. Згідно з малою теоремою Ферма,

звідки . Отже,