7.13 Iндекси за простим модулем. Двочленнi порівняння за простим модулем. Таблицi iндексiв, їх застосування……………………………109

Номер теми та підтеми

Назва змістовного модулю або теми

та їх зміст

Обсяг

(год.)

З них самостійно

1

2

3

4

Тема І. Теорія подільності

15

5

Вступ до дисципліни. Мета, зміст і задачі дисципліни.

Поняття алгебраїчної системи Алгебраїчні системи й сучасна математика.

1,5

0.5

1.1

Подільність цілих чисел Подільність цілих чисел, її важливіші властивості. Теорема про ділення з остачею.

1,5

0.5

1.2

Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне. Означення найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного. Найбільший спільний дільник двох чисел і алгоритм Евкліда. Теореми про найбільший спільний дільник двох чисел. Спільне найменше кратне. Теореми про спільне найменше кратне двох чисел.

3

1

1.3

Прості та складені числа. Означення простих та складених чисел. Основна теорема арифметики. Теореми о дільниках числа.

3

1

1.4

1.5

Неперервні дроби. Неперервні дроби та їх зв'язок з алгоритмом Евкліда. Підхідні дроби.

Практичне використання неперервних дробів. Розв'язання у цілих числах лінійного рівняння з двома невідомими. Застосування методу ланцюгових дробів для факторизації цілих чисел.

3

3

1

1

Тема ІІ. Функції теорії чисел

6

2

2.1

2.2

Найважливіші функції теорії чисел. Функції і . Мультиплікативні функції. Число дільників і сума дільників натурального числа. Функція Мьобіуса, означення й властивості.

Функція Ейлера, означення й властивості. Основні теореми. Узагальнена функція Ейлера, означення й властивості.

3

3

1

1

1

2

3

4

Тема ІІІ. Теорія порівнянь

18

6

3.1

Введення в теорію порівнянь. Загальні відомості, поняття й означення. Властивості порівнянь, подібні властивостям рівнянь. Властивості порівнянь при зміні модулю

3

1

3.2

Системи лишків Повна та зведена системи лишків. Основні теореми про лишки. Теореми Ейлера та Ферма. Узагальнення теореми Ейлера.

3

1

3.3

3.4

3.5

3.6

Порівняння з одним невідомим. Основні поняття й означення. Порівняння першого степеня. Системи порівнянь першого степеня.

Китайська теорема про остачі. Порівняння будь-якого степеня за простим модулем. Порівняння будь-якого степеня за складеним модулем.

Порівняння другого степеня. Загальні теореми. Символ Лежандра.

Символ Якобі. Означення й властивості. Розв’язання двочленних порівнянь другого степеня за складеним модулем.

3

3

3

3

1

1

1

1

Тема ІV. Первісні корені та індекси

6

3

4.1

4.2

4.3

Загальні теореми. Показники за модулем. Властивості показників за модулем. Добуток показників. Первісні корені за модулями і .

Розшук первісних коренів за модулями і . Індекси за модулями і . Означення, властивості. Розв’язання двочленних порівнянь n-го степеня за допомогою індексів. Наслідки розглянутої теорії.

Індекси за модулем . Система індексів числа. Індекси за будь-яким складеним модулем. Існування первісних коренів.

3

3

3

1

1

1

Всього: 32 години аудиторних та 4 години самостійної роботи

№ теми

та заняття

Теми занять

Обсяг (год.)

З них самостійно

1

2

3

4

1.1

Теорія подільності в кільці цілих чисел. Відношення подiльностi, його найпростiшi властивості. Теорема про ділення з остачею.

4

2

1.2

Найбільший спільний дільник i найменше спільне кратне та способи знаходження їх. Взаємно прості числа.

4

2

1.3

Означення i властивості простих та складених чисел. Решето Ератосфена. Канонічна форма натурального числа. Розподіл простих чисел серед чисел натурального ряду.

4

2

1.4

Ланцюгові дроби. Пiдхiднi дроби ланцюгового дробу.

4

2

1.5

Практичне використання ланцюгових дробів. Розв’язання в цілих числах лінійного рівняння з двома невідомими. Застосування ланцюгових дробів для факторизації цілих чисел.

4

2

2.6

Числові функції. Число i сума натуральних дiльникiв. Ціла i дробова частини дійсного числа. Функція Ейлера.

4

2

3.7

Порівняння в кільці цілих чисел та їхні найпростіші властивості.

4

2

3.8

Класи лишків. Повна i зведена системи лишків за даним модулем.

4

2

3.9

Теореми Ейлера і Ферма. Китайська теорема про остачі. Переведення чисел із позиційної системи числення у систему лишкових класів та навпаки

4

2

3.10

Порівняння першого степеня з одним невідомим

4

2

3.11

Порівняння вищих степенів з одним невідомим.

4

2

3.12

Порівняння другого степеня. Квадратичні лишки та нелишки, символ Лежандра.

4

2

4.13

Первісні корені та індекси. Порядок числа і класу лишків за модулем. Первісні корені Існування та їх кількість за простим модулем. Індекси за простим модулем

4

1

4.14

2. Індекси за простим модулем. Двочленні порівняння за простим модулем. Таблиці iндексiв, їх застосування.

4

2

Всього: 28 годин аудиторних та 28 годин самостійної роботи