5.5. Число I сума натуральних дiльникiв. Цiла I дробова частини дiйсного числа. Функцiя Ейлера. Узагальнена функцiя Ейлера.

Номери ваших індивідуальних завдань обчислюються за формулою (А + 25k)(mod143), k = 0  5, де A  порядковий № за журналом,  порядковий номер навчальної групи. Вибираються номери записані нежирним шрифтом.

Зміст задач та завдань

5.1. Знайти число i суму всiх натуральних дiльникiв таких чисел:

5.5.1. а) 60; 5.5.4. г) 375; 5.5.7. є) 988; 5.5.10. к) 1200;

5.5.2. б) 100; 5.5.5. д) 720; 5.5.8. ж) 990; 5.5.11. л) 1542;

5.5.3. в) 360; 5.5.6. е) 975; 5.5.9. з) 1000; 5.5.12. м) 3500.

5.2. Знайти всі натуральні дільники чисел:

5.5.13. a) 24; 5.5.14. б) 50; 5.5.15. в) 100; 5.5.17. г) 360; 5.5.18. д) 375.

5.3. Знайти натуральне число n, якщо:

5.5.19. а) n дiлиться тiльки на два простих числа i 6 , a 42;

5.5.20. б) 1, 2, 3, 4, 5, 6;

5.5.21. в) n має тiльки два простих дiльники 12, a 1240;

5.5.22. г) n має тiльки два простих дiльники 12, a 465;

5.5.23. д) n кратно 12, а ;

5.5.24. е) n наiменьше натуральне число, для якого 14;

5.5.25. є) n наiменьше натуральне число, для якого 18;

5.5.26. ж) n наiменьше натуральне число, для якого 100;

5.5.27. з) добуток усiх його натуральних дiльників дорівнює 5832;

5.5.28. к) , , , ;

5.5.29. л) n  найменше натуральне число виду 2^x p₁p₂, де p₁, p₂  рiзнi непарнi простi числа i (задача Ферма);

5.5.30. м) добуток усiх його натуральних дiльників дорівнює 3³⁰5⁴⁰;

5.5.31. н) , , , ;

5.4. Довести, що:

5.5.32. а) iснує нескiнченна множина натуральних m, для яких ;

5.5.33. б) множина всiх натуральних, більших від одиниці, кожне з яких дорiвнює добутку всiх своїх натуральних дiльникiв, збiгається з множиною всiх простих чисел;

5.5.34. в) непарне тодi i тiльки тодi, коли n  квадрат натурального числа;

5.5.35. г) добуток усiх дiльників числа n дорівнює ;

5.5.36. д) , де натуральні числа;

5.5.37. е) , якщо (n, m) > 1;

5.5.38. є) , якщо (n, m) > 1;

5.5.39. ж) , де d₁, . . . , d_k  усі дiльники числа n.

5.5. Нехай n-натуральне число. Знайти t(n), якщо:

5.5.40. a) t(n²) = 15 i n має тiльки два простих дiльники;

5.5.41. б) t(n²) = 81 i n має тiльки два простих дiльники;

5.5.42. в) t(n²) = 105 i n має тiльки три простих дiльники.

5.6. Натуральне n називається досконалим⁴, якщо (n) = 2n. Довести, що:

5.5.43. а) 6, 28, 496, 8128  досконалi;

5.5.44. б) парне число n є досконалим тоді i тiльки тодi, коли , де , а р = 2^k1  просте число⁵ (теорема Евклiда-Ейлера);

5.5.45. в) довiльне натуральне число з одним простим дiльником не є досконалим;

5.5.46. г) непарне натуральне число з двома простим дiльником не є досконалим.

5.7. Два натуральних m i n називаються дружніми⁶, якщо (n) = m + n. Довести що дружнiми є такі пари чисел:

5.5.47. а) 220 i 284;

5.5.48. б) 1184 i 1210;

5.5.49. в) 2620 i 2924.

5.8. Знайти функцію Ейлера для чисел:

5.5.50. а) 17; 5.5.53. г) 200; 5.5.56. є) 720;

5.5.51. б) 31; 5.5.54. д) 375; 5.5.57. ж) 1000;

5.5.52. в) 100; 5.5.55. е) 625; 5.5.58. з) 1200.

5.9. Знайти узагальнену функцію Ейлера для чисел

5.5.59. а) 17; 5.5.62. г) 200; 5.5.65. є) 720;

5.5.60. б) 31; 5.5.63. д) 375; 5.5.66. ж) 1000;

5.5.61. в) 100; 5.5.54. е) 625; 5.5.67. з) 1200.

5.10. Знайти кiлькiсть натуральних чисел, які менші вiд числа n i мають з ним найбільший спiльний дiльник d, якщо:

5.5.68. а) n = 300, d = 20; 5.5.72. д) n = 1072, d = 8;

5.5.69. б) n = 1476, d = 41; 5.5.73. е) n = 2500, d = 50;

5.5.70. в) n = 1665, d = 37; 5.5.74. є) n = 2476, d = 619.

5.5.71. г) n = 975, d = 13;

5.15. Довести, що:

5.5.75. а) n)  парне при n  3;

5.5.76. б) 4n) = 22n), ;

5.5.77. в) 4n +2) = 2n +1), ;

5.5.78. г) , де S  сума натуральних чисел, взаємо простих з числом n i менших вiд n;

5.5.79. д)  7n) для всіх ;

5.5.80. е) якщо рiвняння x) = a має корiнь x = m, де m не 2, то воно має також корiнь x = 2m;

5.5.81. є) , де m i n  натуральнi числа;

5.5.82. ж)mn) =, де m i n  натуральнi числа;

5.5.83. з) mn) > m)n), де (m, n) > 5.

5.12. Розв'язати рiвняння:

5.5.84. а) x) = 8; 5.5.90. є) ;

5.5.85. б) x) = 12; 5.5.91. ж) ;

5.5.86. в) x) = 14; 5.5.92. з) ;

5.5.87. г) x) = p 1, де p  просте число; 5.5.93. к) ;

5.5.88. д) x) = 2^k, де k  натуральне число; 5.5.94. л) ;

5.5.89. е) ; 5.5.95. м) .

5.13. Знайти натуральне n, якщо :

5.5.96. а) n = 3^k5^l7^s, де k, l, s Î N і ;

5.5.97. б) n = pq, де p i q рiзнi простi такi, що p  q = 2 i n) = 120;

5.5.98. в) n = p²q², де p i q рiзнi простi i n) = 11424;

5.5.99. г) n = p^kq^ls^m, де p, q, . . , s  рiзнi простi, k, l, . . , m  натуральнi числа, бiльшi від 1 i (n) = 462000;

5.5.100. д) n = 7^k, і (n) = 294;

5.5.101. е) n = 5^k7^k11, і (n) = 42000;

5.5.102. є) n = p^kq^l, де p, q  рiзнi простi числа, k, l і (n) = 120;

5.5.103. ж) n = p^k, де p  просте число, , .

5.14. Довести , що

5.5.104. а) , де x, y  R, узагальнити результат для бiльшої кiлькостi доданкiв;

5.5.105. б) , де r Î R i ;

5.5.106. в)

5.5.107. г) або , де p-просте непарне число;

5.5.108. д) , де r – остача вiд дiлення аÎ Z на m Î N;

5.5.109. е) , ;

5.5.110. є) або ;

5.5.111. ж) , якщо m – непарне натуральне число;

5.5.112. з) , n Î N, x Î R;

5.5.113. к) , якщо ;

5.5.114. л) , якщо і ;

5.5.115. м) для будь-якого дiйсного х i ;

5.5.116. н) або 1, x Î R.

5.15. Знайти показник степеня простого числа p, яке мiститься в добутку n!, якщо

5.5.117. а) p = 3, n = 100; 5.5.119. в) p = 13, n = 10000;

5.5.118. б) p = 11, n = 1000; 5.5.120. г) p = 7, n = 81565.

16. Знайти канонiчний розклад чисел:

5.5.121. a) 11!; 5.5.122. б) 18!; 5.5.123. в) 40!; 5.5.124. г) 75!;

5.5.125. д) .

16. Скількома нулями закінчується число n!, якщо:

5.5.126. а) n = 50; 5.5.127. б) n = 123; 5.5.128. в) n = 1985.

16. Довести, що:

5.5.129. а) 288! (16!)¹⁸;

5.5.130. б) 288! (18!)¹⁶;

5.5.131. в) кратно 7;

5.5.132. г) n! кратно (a!b!k!), якщо а + b + . . . + k Î n;

5.5.133. д) (k + 1)(k + 2)+...+(k + n) кратно n! , k, n Î N;

5.5.134. е) (n!) кратно (n!)^(n1)!;

5.5.135. є) (k + d)(k + 2d)(k + nd) кратно n!, якщо (d, n!) = 1;

5.5.136. ж) .

5.19. Скiльки є натуральних чисел, якi:

5.5.137. а) кратнi 786 i мiстяться мiж 10⁶ i 10⁷;

5.5.138. б) меньшi вiд числа 1000 i не дiляться нi на 5, нi на 7;

5.5.139. в) < 100 i взаємопростi з 36;

5.5.140. г) не бiльш вiд 2311 i не дiляться на жодне з чисел 5, 7, 13, 17;

5.5.141. д) не бiльш вiд 12317 i взаємно простi з 1575;

5.5.142. е) не бiльш вiд 1000 i не взаємно простi з 363;

5.5.143. 5.20. Турист перебував у дорозi цiле число днiв i проїзджав кожен день стiльки кiлометрiв, скiльки днiв вiн подорожував. Якби вiн проїзджав щодня по 20 км i зупинявся на один день через кожнi 40 км, то час його подорожування збiльшився б на 37 днiв. Скiльки днiв подорожував турист?