5.6. Порівняння в кільці цілих чисел та їхні найпростіші властивості

Номери ваших індивідуальних завдань обчислюються за формулою (А + 25k)(mod 117), k = 0  5, де A  порядковий № за журналом,  порядковий номер навчальної групи. Вибираються номери записані нежирним шрифтом.

Зміст задач та завдань

6.5. Серед чисел а₁, а₂, . . . , а_n знайти всi пари рiзних чисел, порівняних за модулем m, якщо:

5.6.1. a) а₁ = 216, a₂ = 134, a₃ = 214, a₄ = 303, a₅ = 21, m = 5 ;

5.6.2. б) а₁ = 135, a₂ = 106, a₃ = 181, a₄ = 225, a₅ = 167, a₆ = 452, m = 15 ;

5.6.3. в) а₁ = 217, a₂ = 42, a₃ = 182, a₄ = 241, a₅ = 21, m = 12.

6.2. Якi з чисел a, b, c порівнянi з числом d за модулем m, якщо:

5.6.4. a) a = 137, b = 343, c = 633, d = 13, m = 31;

5.6.5. б) a = 217, b = 201, c = 186, d = 11, m = 19;

5.6.6. в) a = 234, b = 634, c = 104, d = 9, m = 25.

6.3. Довести, що:

5.6.7. a) означення 1–3 еквiвалентнi мiж собою:

Означення 1. Цілі числа a і b називають порівняними за модулем m, де m – ціле число, якщо їхня різниця a  b ділиться на m.

Означення 2. Цілі числа a і b називають порівняними за модулем m, де m Z, якщо вони при діленні на m дають однакові остачі.

Означення 3. Цілі числа a і b називають порівняними за модулем m, де m Z, якщо існує таке ціле число q, що a = b + mq;

5.6.8. б) властивостi 1⁰–3⁰ справедливi:

1⁰. Відношення порівнянності (конгруентності) за даним модулем є бінарним відношенням еквівалентності на множині цілих чисел. Класи еквівалентності називають класами лишків за даним модулем;

2⁰. Порівняння за одним модулем можна почленно додавати, віднімати і множити;

3⁰. До обох частин порівняння можна додати будь-яке ціле ;

5.6.9. в) властивостi 4⁰–6⁰ справедливi:

4⁰. До будь- якої частини порівняння можна додати довільне ціле число, кратне модулю;

5⁰. Обидві частини порівняння можна помножити на те саме ціле число;

6⁰. Обидві частини порівняння можна поділити на їхній спільний дільник, якщо він взаємно простий змодулем;

5.6.10. г) властивостi 7⁰–10⁰ справедливi:

7⁰. Якщо у виразі

усі коефіцієнти А і числа а₁, а₂, . . . , а_k замінити на порівняні з ними за модулем m коефіцієнтами B і числами b₁, b₂, ... b_k відповідно, то вираз

буде порівняним заданому за модулем m:

.

8⁰. Обидві частини порівняння і модуль можна множити на те саме ціле число.

9⁰. Обидві частини порівняння і модуль можна скорочувати на їхній спільний дільник.

10⁰. Якщо порівняння має місце за кількома модулями, то воно має місце і за модулем, який дорівнює спільному найменшому кратному цих модулів.

5.6.11. д) властивостi 11⁰–13⁰ справедливi:

11⁰. Якщо порівняння має місце за модулем m, то воно має місце за модулем d, де d – довільний дільник числа m.

12⁰. Якщо одна частина порівняння і модуль діляться на деяке число, то й друга частина порівняння ділиться на те саме число.

13⁰. Якщо а  b(modm), то (а, m) = (b, m).

5.6.12. є) якщо у многочленi з цiлими коефiцiєнтами , який задано на множинi цiлих чисел Z, усi коефiцiєнти а_i замiнити на коефiцiєнти b_i, порівняні з а_i за модулем m, то дiстанемо многочлен g(x), порівняний з многочленом f(x), тобто f(x) ; якщо , то f(x)  f(x)(mod m);

5.6.13. д) n²  1  0 (mod 8), якщо n  непарне число;

5.6.14. e) a  r (mod m), де r  остача вiд дiлення а на m;

5.6.15. а  b (mod ), якщо ax  bx (mod m);

5.6.16. ж) якщо ас  bd (mod m), a  b (mod m) i (a, m) = 1, то c  d (mod m).

6.4. Записати у виглядi порівнянь такi умови:

5.6.17. а)  38 i  3 дають при дiленнi на 7 однаковi остачi;

5.6.18. б) при дiленнi на 8 число 53 дає остачу 5;

5.6.19. в) а + 2 дiлиться на 5;

5.6.20. г) a²  b² дiлиться на a  b (a  b);

5.6.21. д) знайти остачу r вiд дiлення  73 на 8;

5.6.22. е) 20 є остача вiд дiлення числа 389 на 41;

5.6.23. э) числа 219 i 129 дають неоднаковi остачi при дiленнi на 7.

6.5. Охарактеризувати порівняннями числа n, якщо:

5.6.24. а) n  парне число;

5.6.25. б) n  непарне число ;

5.6.26. в) n має вид 4r + 1, r Z;

5.6.27. г) n має вид 5r + 3, r Z ;

5.6.28. д) n має вид 7r – 2, r Z;

5.6.29. е) n має вид 3r + 8, r Z.

6.6. Довести, що:

5.6.30. а) 121  13145 (mod 2);

5.6.31. б) 121347  92817 (mod 10);

5.6.32. в) 31   9 (mod 10);

5.6.33. г) (m  1)2  1 (mod m);

5.6.34. д) 2m + 1  (m + 1)² (mod m);

5.6.35. е) 26³⁰  1  0 (mod 571131);

5.6.36. э) 26¹⁵ + 1  0 (mod 5731);

5.6.37. ж) 26²⁶  14¹⁴ (mod 10);

5.6.38. з) 17⁷²  1 (mod 10);

5.6.39. к) 2^1131  2 (mod 1131);

5.6.40. л) 3¹⁴   1 (mod 29);

5.6.41. м) 111318192322  6(mod 7).

6.7. Довести, що:

5.6.42. а) 5¹⁸¹² 1964 (mod 25);

5.6.43. б) 7¹⁰³  3 (mod 27);

5.6.44. в) 4¹⁹⁶⁵  25 (mod 10);

5.6.45. г) 30·17  8119 (mod 6);

5.6.46. д) 11²⁰⁷  6 (mod 27);

5.6.47. е) 6⁸⁹  7 (mod 16);

5.6.48. э) 13²⁵  5 (mod 30);

5.6.49. ж) 7¹⁰¹  3 (mod 35);

5.6.50. з) 8¹⁰⁷  7 (mod 14);

5.6.51. к) 26¹⁵  1  0 (mod 57);

5.6.52. л) 7¹⁰⁰  3 (mod 125);

5.6.53. м) (2n + 1)(2m + 1)  2r(mod 6), n, m, r  Z.

6.8. Нехай р  просте число. Довести, що:

5.6.54. a) (a + b)^p  a^p + b^p (mod p), a, b  Z;

5.6.55. б)  ( 1)^k (mod p);

5.6.56. в) (mod p);

5.6.57. г) a^p  b^p (mod pⁿ⁺¹), якщо a  b (mod pⁿ);

5.6.58. д) 1^{2k + 1} + 2^{2k + 1} + 3^{2k + 1} + . . . + (p  1)^{2k + 1}  0 (mod p), де р > 2;

5.6.59. е) p^{p + 2} + (p + 2)^p  0 (mod 2p + 2), якщо р > 2;

5.6.60. э) числа попарно непорівняні мiж собою за модулем р, p > 2.

6.9. Знайти остачу вiд дiлення:

5.6.61. а) 15²³¹ на 14;

5.6.62. б) 15²³¹ + 2 на 16;

5.6.63. в) 1532⁵ 1 на 9;

5.6.64. г) 12¹²³¹ + 14⁴³²⁴ на 13;

5.6.65. д) 208²⁰⁸ на 23;

5.6.66. е) 2¹⁵⁷⁸³ 7 на 25;

5.6.67. э) 3⁷⁹⁸²¹ + 5 на 17;

5.6.68. ж) 10²⁷³² + 10 на 22;

5.6.69. з) 18²⁸¹⁵ 3 на 14;

5.6.70. к) 2¹⁰⁰ + 5²⁰⁰ на 29;

5.6.71. л) 13¹⁰⁵⁴ 2316²⁸⁵ + 22¹⁷ на 15;

5.6.72. м) 29²⁹²⁹34³⁴³⁴ + 29416²³¹ – 2417¹²⁰ на 31;

5.6.73. н) а на 73, якщо а¹⁰⁰  2 (mod 73) i a¹⁰¹  69 (mod 73). Як змiниться вiдповiдь, якщо а подiлити на 79 i а²⁵  3 (mod 79), а²⁶  29 (mod 79), (a,79) = 1?

6.10. Довести, що:

5.6.74. а) a  b  с 2, якщо a + b  с 2;

5.6.75. б) 18a + 5b 19, якщо 11a + 2b 19;

5.6.76. в) 2a + 7b 17, якщо a  5b 17;

5.6.77. г) 4a + 23b 16, якщо 12a  7b 16;

5.6.78. д) 10a + 7b 19, якщо a  5b 19;

5.6.79. е) 11a  b + 2с 21, якщо 16a  11b + с 21;

5.6.80. є) a  7 b 31, якщо 6 a  11 b 31;

5.6.81. ж) a + b + 8с 21, якщо 50 a + 8 b + с 21;

5.6.82. з) 5 a + b 17, якщо 15a + 3b 17;

5.6.83. к) a  4 b + 41с 199, якщо 50 a  b + 60с 388.

6.15. Довести, що при будь-якому натуральному n:

5.6.84. а) ;

5.6.85. б) + 17  0 (mod 3);

5.6.86. в)  17 (mod10);

5.6.87. г) ;

5.6.88. д) ;

5.6.89. е)  складене число;

5.6.90. є)  1 (mod mn + 1), де m > 1  непарне число;

5.6.91. ж)   1 (mod 10), якщо  1 (mod 10);

5.6.92. з) ;

5.6.93. к) 310n + 24  0 (mod 54);

6.12. Довести, що задані рiвняння не мають розв'язкiв у натуральних числах:

5.6.94. a) 3^x + 7^y = 19^z; 5.6.96. в) 24^x + 36^y = 61^z;

5.6.95. б) 3^x + 5^y = 19^z; 5.6.97. г) 20^x + 50^y = 71^z;

6.13. Довести, що при будь-яких цiлих a, b i невiд'ємному n:

5.6.98. a) (11a + 5)^{2n + 1} + (11b + 6)^{2n + 1}  0 (mod 11);

5.6.99. б) (13a + 3)^{3n + 2} + (13b  4)^{3n + 2} +1  0 (mod 13);

5.6.100. в) 9^{3n + 1} + 3^{3n + 1} + 1  0 (mod 13).

6.14. Знайти такi натуральнi k, l, m, щоб при будь-якому цiлому а справджувалися такi порівняння:

5.6.101. a) a^3k + a^{3l + 1} + a^{3m + 2}  0 (mod a² + a + 1);

5.6.102. б) a^3k  a^{3l + 1} + a^{3m + 2}  0 (mod a²  a + 1);

5.6.103. в) a^3k+ a^{3l + 1} + a^{3m + 2}  0 (mod a⁴ + a² + 1).

6.15. Знайти останню цифру чисел:

5.6.104. a) ;

5.6.105. б) ;

5.6.106. в) пiднесення до степеня пiвторюється 1000 раз;

5.6.107. г) – пiднесення до степеня пiвторюється 1000 раз.

6.16. Знайти останнi двi цифри чисел:

5.6.108. a) 2⁹⁹⁹; 5.6.112. д) 203²⁰³²⁰³;

5.6.109. б) 3⁹⁹⁹; 5.6.113. e) ;

5.6.110. в) 2³⁴¹; 5.6.114. є) ;

5.6.111. г) 289²⁸⁹; 5.6.115. ж) .

6.17. Нехай  число Ферма, де n = 0, 1, 2, . . ..

Довести, що:

5.6.116. a) F₅ 641⁷;

5.6.117. б) число F_n закiнчуеться цифрою 6 при всiх n, крiм n = 0 i n = 5.