5 Індивідуальні завдання та задачі, контрольні завдання

5.1 Відношення подiльностi, його найпростiшi властивості. Теорема про ділення з остачею.

Номери ваших індивідуальних завдань обчислюються за формулою (А + 25k)(mod81), k = 0  5, де A  порядковий № за журналом,  порядковий номер навчальної групи. Вибираються номери, записані нежирним шрифтом¹.

Зміст задач та завдань.

1.1. Знайти неповну частку i остачу при дiленнi цілого числа а на ціле число b, якщо:

5.1.1. a) a = 131, b = 31;

5.1.2. б) a = 31, b = 131;

5.1.3. в) a =  131, b = 31;

5.1.4. г) a =  31, b = 131;

5.1.5. д) a = 131, b =  31;

5.1.6. е) a = 31, b =  131;

5.1.7. є) a =  31, b =  131;

5.1.8. ж) a =  131, b =  31.

1.2. При дiленнi цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q i остача r. Знайти i q, якщо:

5.1.9. a) a = 100, r = 6;

5.1.10. б) a = 148, r = 37;

5.1.11. в) a = 298, r = 10;

5.1.12. г) a = 497, r = 16;

5.1.13. д) a = 28, r = 2;

5.1.14. е) a = 14, r = 14.

1.3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q i остача r. Знайти b i q, якщо:

5.1.15. a) a = 371, q = 14;

5.1.16. б) a = 826, q = 83;

5.1.17. в) a = 441, q = 25;

5.1.18. г) a = 57, q = 0;

5.1.19. д) a = 13127, q = 121;

5.1.20. е) a = 100, q = 100.

1.4. Знайти загальний вид усіх тих цілих чисел, які:

5.1.21. а) діляться на 2;

5.1.22.б) діляться на 3;

5.1.23. в) діляться на 8;

5.1.24. г) при діленні на 7 дають остачу 3;

5.1.25. д) при діленні на 4 дають остачу 1;

5.1.26. е) не діляться на 2;

5.1.27. є) не діляться на 3;

5.1.28. ж) не діляться на 2 і на 3.

1.5. Довести, що:

5.1.29. а) з трьох послідовних цілих чисел одне і тільки одне ділиться на 3;

5.1.30. б) з двох послідовних парних цілих чисел одне і тільки одне ділиться на 4;

5.1.31. в) з п’яти послідовних цілих чисел одне і тільки одне ділиться на 5;

5.1.32. г) з n послідовних цілих чисел одне і тільки одне ділиться на n.

1.6. Довести, що:

5.1.33. а) добуток двох послідовних цілих чисел ділиться на 2;

5.1.34. б) добуток трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6;

5.1.35. в) добуток чотирьох послідовних цілих чисел ділиться на 24;

5.1.36. г) добуток n послідовних цілих чисел ділиться на n!.

5.1.37. 1.7. Нехай m, n, n, q  цілі числа i (mn + nq) (m  n). Довести, що (m  n).

1.8. Довести, що:

5.1.38. а) квадрат непарного цілого числа при діленні на 8 дає остачу 1;

5.1.39. б) сума квадратів двох послідовних цілих чисел при діленні на 4 дає остачу 1;

5.1.40. в) числа виду Z не можуть бути квадратами цілих чисел;

5.1.41. г) сума квадратів двох непарних цілих чисел не може бути квадратом цілого числа;

5.1.42. д) , або якщо n не 7, n Z;

5.1.43. е) сума квадратів п’яти послідовних цілих чисел не може бути квадратом цілого числа;

5.1.44. є) якщо остача від ділення деякого цілого числа на 9 є одне з цілих чисел 2, 3, 5, 6, 8, то це число не може бути квадратом цілого числа;

5.1.45. ж) якщо чисельник дробу є різниця квадратів двох непарних цілих чисел, а знаменник  сума квадратів цих чисел, то такий дріб можна завжди скоротити на 2, але не на 4.

1.9. Довести, що:

5.1.46. а) ;

5.1.47. б) ;

5.1.48. в) .

1.10. Довести, що для довільних цілих чисел m і n:

5.1.49. а) ;

5.1.50. б) ;

5.1.51. в) ;

5.1.52. г) ;

5.1.53. д) ;

5.1.54. е) ;

5.1.55. є) ;

5.1.56. ж) ;

5.1.57. з) не 121.

1.11. Довести, що для довільного натурального числа n:

5.1.58. а) ;

5.1.59. б) ;

5.1.60. в) ;

5.1.61. г)

5.1.62. д) не .

1.12. Довести, що для довільного цілого невід’ємного числа n:

5.1.63. а) ;

5.1.64. б) ;

5.1.65. в) ;

5.1.66. г) ;

5.1.67. д) ;

5.1.68. е) ;

5.1.69. є) ;

5.1.70. ж) ;

5.1.71. з) ;

5.1.72. к) .

5.1.73. 1.13. Довести, що числа 48, 4488, 444888,... можна подати у вигляді добутку двох послідовних натуральних чисел.

5.1.74. 1.14. Довести, що сума 2n + 1 послідовних натуральних чисел длиться на .

5.1.75. 1.15. Довести, що невизначеному рівнянню , задовольняють ті і тільки ті системи , де одне з чисел x або y має вид 2ab, друге  вид а z має вид й при цьому парне.

1.16. Довести, що в прямокутному трикутнику, довжини сторін якого піфагорові числа (піфагорові числа  трійки цілих чисел , що задовольняють рівнянню ; усі рішення цього рівняння, а відповідно й усі піфагорові числа подаються формулами , де  довільні цілі числа ):

5.1.76. а) довжина, принаймні, одного катета ділиться на 3;

5.1.77. б) довжина, принаймні, однієї із сторін ділиться на 5.

5.1.78. 1.17. Довести, що коли довжини сторін і діагоналей прямокутника є натуральні числа, то його площа ділиться на 12.

5.1.79. 1.18. Довести, що корені квадратного рівняння ax² + bx + c з цілими непарними коефіцієнтами a,b,c, не можуть бути раціональними.

5.1.80. 1.19. Довести, що сума кубів трьох послідовних цілих чисел ділиться на 9.

5.1.81. 1.20. Довести, що якщо n, r, s  цілі числа такі, що , , , то  тоді й тільки тоді, коли s r.