4.12 Порядок числа і класу лишків за модулем. Первісні корені, існування та їх кількість за простим модулем.

1. Знайти порядок числа a за модулем m, якщо:

а) , ; б) , ; в) .

Р о з в я з а н н я. Щоб знайти порядок числа a за модулем m, слід забезпечити виконання таких умов:

1. ;

2.  дільник числа ;

3.  найменше з натуральних чисел k, для яких виконується порівняння

.

а) Маємо . Знаходимо . Оскільки 15 = 35, то . Отже, міститься серед чисел 1, 2, 4, 8. Записуємо послідовно:

,

,

Отже, .

б) Оскільки , то для числа за модулем 15 порядку не існує.

в) Оскільки і , то існує. Його визначають за формулою

.

Зауваження

1. Щоб знайти порядок числа a за модулем m, слід використовувати обчислення, зроблені на попередньому етапі. Так, якщо вже знайдено , де k|, то щоб знайти , де і l | , треба використати те, що .

2. Процес знаходження порядку числа може водночас бути процесом знаходження первісних коренів за даним модулем m. Для цього слід визначити, які з чисел мають порядок .

2. Знайти всі первісні корені за модулем 7.

Р о з в я з а н н я. Первісних коренів за модулем є . Вони містяться серед чисел ЗСЛ₇:

ЗСЛ₇ = .

Оскільки у канонічному розкладі має вигляд , то досліджувати слід числа виду і , тобто числа і , де ЗСЛ₇.

Знайдемо перший первісний корінь. Перевіряємо число 2 (зрозуміло, що число 1 тільки за модулем 2 є первісним коренем і тому в інших випадках перевірка не має смислу).

, .

Оскільки 3 < 6, то 2 не є первісний корінь за модулем 7.

Перевіряємо число 3:

, .

Тоді . Отже, порядком числа 3 є 6, тобто 3 є первісним коренем за модулем 7.

Другий первісний корінь міститься серед чисел виду , де і . Ці умови задовольняє тільки число . Отже, другим первісним коренем є число . Оскільки , то первісними коренями за модулем 7 є числа 3 і 5.

1. Тема 4. Первісні корені та індекси.

2. 4.13 Iндекси за простим модулем. Двочленнi порівняння за простим модулем. Таблицi iндексiв, їх застосування.

1. Cкласти таблицi iндексiв та анти індексів за модулем 23.

Р о з в’я з а н н я. Знайдемо один з первiсних коренiв за модулем 23 (найчастiше це найменший з первiсних коренiв). Перевiряючи безпосередньо, дiстанемо, що число 5 є одним з первiсних коренiв за модулем 23, причому найменшим з них. Справдi,

i 5² не  1(mod 23), 5¹¹ не  1(mod 23), a 5²²  1(mod 23).

Отже, d₂₃(5) = 22, тому 5 є первiсний корiнь за модулем 23. Вiзьмемо його за основу таблицi iндексiв i знайдемо найменшi невiд'ємнi лишки степенiв 5⁰, 5¹, 5², . . . , 5²² за модулем 23:

5⁰  1(mod 23), 5⁸  16(mod 23), 5¹⁶  3(mod 23),

5¹  5(mod 23), 5⁹  11(mod 23), 5¹⁷  15(mod 23),

5²  2(mod 23), 5¹⁰  9(mod 23), 5¹⁸  6(mod 23),

5³  10(mod 23), 5¹¹  22(mod 23), 5¹⁹  7(mod 23),

5⁴  4(mod 23), 5¹²  18(mod 23), 5²⁰  12(mod 23),

5⁵  20(mod 23), 5¹³  21(mod 23), 5²¹  14(mod 23).

5⁶  8(mod 23), 5¹⁴  13(mod 23),

5⁷  17(mod 23), 5¹⁵  19(mod 23),

Отже, ind₅1 = 0, ind₅5 = 1, ind₅2 = 2, ind₅10 = 3, ind₅4 = 0, ind₅20 = 5,

Cкладаємо таблицю iндексiв за модулем 23 при основі 5 (див. табл.1).

Таблиця 1

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		0	2	16	4	1	18	19	6	10
1	3	9	20	14	21	17	8	7	12	15
2	5	13	11

Таблиця 2

І	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1	5	2	10	4	20	8	17	16	11
1	9	22	18	21	13	19	3	15	6	7
2	12	14	11

Тут номер рядка означає число десяткiв, а номер стовпця-число одиниць заданого числа. На перетинi певного рядка i стовпця знаходиться вiдповiдний iндекс. Так, iндекс числа 18 знайдемо на перетинi рядка з номером 1 i стовпця з номером 8, тобто ind₅18 = 12.

Щоб побудувати таблицi анти індексів, використаємо таблицю iндексiв. Маємо (табл.2):

Зауваження. Оскiльки вибiр основи для складання таблиць iндексiв за даним модулем є довiльним, то в рiзних пiдручниках i посiбниках такi таблицi не завжди збiгаються. Проте це не впливає на остаточний результат при розв'язуваннi задач за допомогою iндексiв. У таблицях iндексiв, якi наведено в кiнцi цього посiбника, вказано основу g, а також канонiчний розклад числа p  1 для даного простого модуля p.

2. Розв'язати порівняння

17x¹⁸  22(mod 23) (1)

Р о з в ' я з а н н я. Беремо iндекси вiд обох частин порівняння

ind 17 + 18 ind x  ind 22(mod 22).

За табл. 14 маємо

ind 17 = 7, ind 22 = 11 i тому

7 + 18 ind x  11(mod 22),

або

18 ind x  4(mod 22). (2)

Дiстали лiнiйне порівняння вiдносно ind x. Розв'яжемо його. Оскiльки = 2 i 4 2, то це порівняння має два розв'язки. Знайдемо їх штучним способом. Скоротимо спочатку обидвi частини i модуль на 2:

9 ind x  2(mod 11).

Додамо до правої частини число 11:

9 ind x   9(mod 11).

Скоротимо обидвi частини на 9:

ind x   1(mod 11).

Звiдси дiстанемо два розв'язки порівняння (2):

ind x  10, 21(mod 22).

За табл. 2 знаходимо вiдповiднi два значення невiдомого x:

x  9, 14(mod 23).

Зауваження.

1. Зрозумiло, що розв'язування порівнянь за допомогою iндексiв можливе для довiльного модуля, якщо тiльки є вiдповiднi таблицi iндексiв.

2. При iндексуваннi порівняння за модулем m вiдбувається перехiд до порівняння за модулем , а при потенцiюваннi порівняння за модулем перехiд до порівняння за модулем m.

1 Наприклад, якщо ваш номер по списку N = 23, група має номер  = 2, то номери ващих завдань будуть: 2(23 + 25к)(mod89), k = 0,1,2,3,4,5, тобто 5.1.(46, 7, 57, 18, 68, 29).

2 .Мерсенн Марен (1588-1648)  французький математик, фiзик i фiлософ.

3 Ферма П'єр (1601-1665)  французький математик i юрист.

4 Нині відомо 27 досконалих чисел. Усі вони  парні числа. Ще невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи скінченна множина досконалих чисел.

5 Так зване просте число Мерсена. Зрозуміло, що кожне просте число Мерсена дає нам деяке досконале число.

6 Найбільшої пари дружніх чисел не знайдено.

7 Це було доведено ще Ейлером (1707  1783)

8 “Методичні вказівки щодо структури, змісту та оформлення навчально-методичної літератури, ХНУРЕ, 2002”.

62