Тема 3. Теорія порівнянь

3.10 Порівняння вищих степенів з одним невідомим

1. Розв’язати порівняння f(x)  x¹⁷ + 2x¹¹ +3x⁸ – 4x⁷ +2x – 3  0(mod5).

Р о з в‘я з а н н я. Замінимо це порівняння еквівалентним йому порівнянням степеня не вище 4 за тим самим модулем 5. Поділимо f(x) на x⁵– x. Дістанемо

f(x) = (x⁵ – x)(x¹² + x⁸ + 2x⁶ + x⁴ +3x³ – 2x² + 1) + 3x⁴ – 2x³ + 3x – 3.

Замінивши всі коефіцієнти остачі найменшими лишками за модулем 5, дістанемо, що задане порівняння еквівалентно порівнянню

r(x) = 3x⁴ + 3x³ + 3x + 2  0(mod5). (1)

Замінимо це порівняння еквівалентним йому порівнянням із старшим коефіцієнтом, що дорівнює 5. Спочатку розв’яжемо порівняння

3y  1(mod5).

Додамо до правої частини модуль:

3y  6(mod5).

Поділимо обидві частини на 3:

y  23(mod5).

Помножимо порівняння (1) на 2:

6x⁴ + 6x³ + 6x + 4  0(mod5).

Замінимо останнє порівняння еквівалентним йому:

x⁴ + x³ + x  1  0(mod5). (2)

Оскільки , то (x, 5) = 1, а тому . Тоді порівняння (2) матиме вигляд

x³ + x  0(mod5). (3)

Оскільки (x, 5) = 1, то обидві частини порівняння (3) можна скоротити на x:

x² + 1  0(mod5). (4)

Порівняння (4) має такі очевидні розв’язки: і . Отже, порівняння (1) має два розв’язки: .

Зауваження. Замість того, щоб ділити f(x) на x⁵ – x, можна було б замінити x^s на x^r, де r – остача від ділення s на 5 – 1 = 4, причому якщо s ділиться на 4, то покладемо r = 4. Тоді

x¹⁷  x (mod5),

2x¹¹  2x³ (mod5),

3x⁸  3x⁴ (mod5),

– 4x⁷  x³ (mod5).

Отже,

f(x) = 3x⁴ + 3x³ + 3x + 2  0(mod5).

2. Розв’язати порівняння

f(x) = x⁵ + 10x³ + x + 6  0(mod108). (5)

Р о з в‘я з а н н я. Оскільки 108 = 2²3³, то задане порівняння еквівалентне системі

(6)

Перше з цих порівнянь після спрощення матиме вигляд

x⁵ + 2x³ + x + 2  0(mod4). (7)

Випробовуючи лишки 0, за модулем 4, впевнюємося, що порівняння (7) має єдиний розв’язок

x  2(mod4). (8)

Щоб розв’язати друге порівняння системи (6), треба спочатку розв’язати порівняння

f(x) , (9)

або після спрощення

x⁵ + x³ + x . (10)

Оскільки

x⁵  x¹(mod3),

x³  x¹(mod3),

то порівняння (10) еквівалентно порівнянню

3x ,

тобто 0 .

Отже порівняння (9) виконується при будь-якому значенні x. Це означає, що вона має такі розв’язки:

.

Використовуючи ці класи чисел за модулем 3, розв’яжемо порівняння

x⁵ + 10x³ + x + 6  0(mod9), (11)

або еквівалентне йому порівняння

x⁵ + x³ + x + 6  0(mod9).

Нехай

g(x) = x⁵ + x³ + x + 6.

Випробуємо тепер кожний клас за модулем 3.

У класі беремо числа , де задовольняє співвідношенню

.

Оскільки = 5x⁴ + 3x² + 1, = 1, g(0) = 6, то , тобто , або , .

Дістаємо . Ці числа утворюють один клас розв’язків порівняння (11):

. (12)

У класі беремо числа , де задовольняє співвідношенню

.

Оскільки = 9, g(1) = 9, то

9.

Цьому порівнянню задовольняє будь-яке значення , тобто , , , де . Тоді , , . Отже, маємо ще три розв’язки порівняння (11):

.

У класі беремо числа , де задовольняє співвідношенню

.

Оскільки = 93, g(2) = 48, то

,

або .

Ця суперечність свідчить про те, що в класі чисел немає розв’язків порівняння (11).

За допомогою знайдених класів розв’язків дістаємо розв’язки порівняння

f(x) = x⁵ + 10x³ + x + 6  0(mod27). (13)

Випробуємо кожен з класів (11) і (12). У класі беремо числа , де задовольняє співвідношенню

.

Оскільки = 5x⁴ + 30x² + 1, = 676, f(3) = 522, то 676, то , або , . Тоді , .

Ці числа утворюють клас розв’язків порівняння (13)

. (14)

У класі беремо числа , де задовольняє порівнянню

.

Оскільки = 36, f(1) = 18, то 36. Тут , а –2 не ділиться на 3, тому останнє порівняння розв’язків не має. Це означає, що в класі чисел немає розв’язків порівняння (13).

У класі візьмемо числа , де задовольняє порівнянню

.

Оскільки = 1761, f(4) = 1674, то

1761.

Тут , і тому останнє порівняння має три розв’язки . Отже, дістаємо ще три розв’язки порівняння (13):

.

У класі знаходимо числа , де задовольняє порівнянню

.

Оскільки = 13476, f(7) = 20250, то

13476.

Тут , і тому останнє порівняння має три розв’язки .

Відповідно до цього дістаємо останні три розв’язки порівняння (13):

. (15)

Таким чином, щоб знайти розв’язки порівняння (5), треба розв’язати сім систем:

1. 4)

2. 5)

3. 6)

1. 

Розв’язуючи ці системи, знаходимо:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Отже, порівняння (1) має сім розв’язків: 22; 34; 58; 70; 94; 102; .