Тема 5. Теорія подільності в кільці цілих чисел

5.3 Означення I властивостi простих та складених чисел. Решето Ератосфена. Канонiчна форма натурального числа. Розподiл простих чисел серед чисел натурального ряду.

1. Просте чи складене число 323?

Р о з в’я з а н н я . Вiдомо що натуральне число n, n > 1 є простим тодi i тiлькi тодi, коли воно не дiлиться на жодне з простих чисел, якi не перевищують . Знаходимо з надвишком 18 i виписуємо всi простi числа, якi не перевищують числа 18: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Перевiряемо, чи дiлиться число 323 на виписанi числа. За ознаками подiльностi це число не дiлиться на 2, 3, 5. Подiльнiсть на решту чисел перевiряємо безпосередньо. В результатi дiстаємо, що 323 не дiлиться на 7, 11, 13, а дiлиться на 17.

В i д п о в i д ь. Число 323 є складеним.

3ауваження. Якщо iснує точне значенiя , тобто = k, k N, то n є складеним числом, бо n k.

Процес безпосередньої перевiрки подiльностi числа n на виписанi простi числа р₁ = 2, р₂ = 3, . . . , р_k,  припиняється тiльки у двох випадках:

а) коли знайдеться таке число р_i, на яке дiлиться n;

б) коли перевiрена подiльнiсть числа n на всi числа р_i, i = 1, 2, ..., k.

2. Знайти всi значення простого числа р, якщо 4р² + 1 i 6p² + 1 простi числа.

Р о з в'я з а н н я. Усi натуральнi числа мiстяться серед чисел виду: 5n, 5n, 5n  2, де n Z. Числа виду 5n є простими тiльки при n = 1; тодi р = 5, = 101, = 155. Оскiльки числа 101 i 151 простi, то значення задовольняє умову.

Покажемо тепер, що iнших значень р немає. Справдi, якщо р = 5n1, то є складеним числом; якщо р = 5n2, то = 24n + 1)  теж складене число.

3. Знайти канонiчний розклад числа 4725.

Р о з в'я з а н н я. Оскiльки 4725 = 31575, а 1575 = 3525, 525 = 3175, 175 = = 535, 35 = 57, то 4725 = 333557 = 3³5²7. Скорочено цей процес записують так:

4725	3
1575	3
525	3
175	5
35	5
7	7
1

Зауваження

1. Якщо треба знайти канонiчний розклад числа виду , то слiд знайти канонiчний розклад числа k i здобутий результат домножити на число.

2. Зрозумiло, що не завжди процес розкладу на простi множники є простим. Для непарних чисел iснує спеціальнiй спосіб розкладу на простi множники. Розглянемо його у наступному прикладi.

4. Довести, що коли непарне нaтуральне число k, k > 1, можна подати у виглядi рiзницi квадратiв двох цiлих невiд'ємних чисел єдиним способом, воно просте. У противному разi воно складене.

Д о в е д е н н я. Нехай k  деяке непарне натуральне число i k = 2s + 1, де s деяке натуральне число. Припустимо, що k розкладається на множники k = mn. Не порушуючи загальностi, можна вважати, що m n. Тодi iснують такi невiд'ємнi цiлi числа х і у, що має мiсце система

з якої випливає

.

Отже, якщо k складене, то

k = mn = (x + y)(x  y) = =  .

Якщо k просте, то його можна єдиним способом подати у виглядi добутку k = (2s + 1)5. Тодi m = 2s + 1 = k i n = 5.

k =   .

Очевидно, що останнє подання для числа k справедливе і коли k  складене.

Таким чином, якщо зображення

k =

(воно завжди iснує, бо k непарне) є єдине, то k – просте.

Якщо, крім того,

k =  ,

де n  1, то k  складене. Зазначимо, що коли k є квадрат числа m, то x = m, y = 0.

Зауваження

1. З доведення цього твердження випливає спосiб розкладання непарних чисел k, k > 1, на множники (x + y)(x  y). Справдi, з рiвностi k = x²  y² дiстаємо . Отже, щоб знайти x i y, досить для числа k пiдiбрати квадрат такого цiлого невiд'ємного числа y, щоб i сума була повним квадратом, тобто . Знайшовши таким способом x i y, приходимо до рівняння mn.

2. Застосовуючи цей спосiб до розв'язування задач, доцiльно користуватися таблицями квадратiв натуральних чисел.

3. Для знаходження числа y iнодi доводиться випробувати кiлька найближчих квадратiв до числа k.

5. Найти канонiчні розклади чисел 4725 i 1769.

Р о з в'я з а н н я. Найближчий квадрат до числа 4725 є число 4765. Знаходимо рiзницю 4761  4725 = 36 = . Отже, 4725 + 36 = 4761, або 4725 + = = . Тодi 4725 =  = (69 + 6)(69  6) = 75·63 = 3·5·5·3·3·7 = . Остаточно маємо 4725 = . Результат, зрозумiло, збiгається з результатом прикладу 3.

За таблицею квадратiв знаходимо найближчий квадрат до числа 1769. Це число 1849. Потiм знаходимо рiзницю 1849  1769 = 80. Оскiльки число 80 не є квадратом, то беремо наступний квадрат – число 1936. Тодi 1936 1769 = . Число 167 знову не є квадратом. Випробуємо наступний квадрат – число 2025 = . Оскiльки 2025 1769 = 256 = , то y = 4. Отже, 1769 + . Тодi 1769 =  = (45 + 16) (45  16) = 61·29 = 29·65. Остаточно маємо 1769 = 29·65.