5.12. Порядок числа і класу лишків за модулем. Первісні корені, існування та їх кількість за простим модулем

Номери ваших індивідуальних завдань обчислюються за формулою (А + 25k)(mod70), k = 0  5, де A  порядковий № за журналом,  порядковий номер навчальної групи. Вибираються номери записані нежирним шрифтом.

Зміст задач та завдань

12.5. Знайти порядок числа: a за модулем m, якщо:

5.12.1. а) ;

5.12.2. б) ;

5.12.3. в) ;

5.12.4. г) ;

5.12.5. д) .

5.12.6. е) ;

5.12.7. є) ;

ж) ;

з) ;

к) .

л) ;

м) ;

н).

12.2. Знайти порядки всіх класів лишків за модулем m, якщо:

5.12.8. а) m = 11; 5.12.9. б) m = 19; 5.12.10. в) m = 21.

12.3. Знайти порядки чисел a, b, c, d за модулем m, якщо:

5.12.11. а) ;

5.12.12. б) ;

5.12.13. в) ;

5.12.14. г) ;

5.12.15. д) .

12.4. Знайти порядок числа:

5.12.16. а) 10 за модулем 1331;

5.12.17. б) m  1 за модулем m.

12.5. Знайти всі первісні корені за такими модулями:

5.12.18. а) 11; 5.12.18. б) 13; 5.12.19. в) 15; 5.12.20. г) 19; 5.12.21. д) 49; 5.12.22. е) 85.

12.6. Знайти число первісних коренів і найменший з них за такими модулями:

5.12.23. а) 10; 5.12.24. б) 18; 5.12.25. в) 19; 5.12.26. г) 31; 5.12.27. д) 37.

12.7. Знайти найменший первісний корінь за такими модулями:

5.12.28. а) 7;

5.12.29. б) 17;

5.12.30. в) 23;

5.12.31. г) 41;

5.12.32. д) 53;

5.12.33. е) 50;

є) 54;

ж) 71;

з) 242;

к) 289;

л) 578;

м) 625.

5.12.34. 12.8. Знаючи, що 3 є первісним коренем за модулем 29, знайти решту первісних коренів за цим модулем.

5.12.35. 12.9. Знаючи, що 2 задовольняє порівнянню , знайти всі розв’язки цього порівняння.

5.12.36. 12.10. Знаючи, що , знайти решту чисел, які мають порядок 14 за модулем 29.

5.12.37. 12.15. Знаючи, що 2  первісний корінь за модулем 37, довести, що .

5.12.38. 12.12. Знаючи, що , , знайти .

12.13. Знайти всі натуральні значення x, які задовольняють порівнянню:

5.12.39. а) 4^x  1(mod 3); 5.12.42. е) 2^x  1(mod 25);

5.12.40. б) 5^x  1(mod 8); 5.12.43. д) 6^x  1(mod 49);

5.12.41. в) 5^x  1(mod 9); 5.12.44. е) 2^x  1(mod 49);

5.12.45. 12.14. Знаючи, що 2 є первісний корінь за модулем 131, знайти всі розв'язки порівняння  16(mod 131).

12.15. Знайти ті значення b, при яких мають розв'язки порівняння:

5.12.46. a) 4x  b(mod 9);

5.12.47. б) 5x  b(mod 9).

12.16. Нехай p  просте непарне число. Довести, що:

5.12.48. a) серед первісних коренів за модулем p не може бути квадратів;

5.12.49. б) , якщо а  первісний корінь за модулем p;

5.12.50. в) , якщо а  первісний корінь за модулем p;

5.12.51. г) , якщо (, ) = 1

5.12.52. д) за модулем p існують первісні корені;

5.12.53. е) a^k + 1 кратне p, якщо = 2k;

5.12.54. є) добуток двох первісних коренів за модулем p не є первісним коренем за цим модулем;

5.12.55. ж) якщо n  1, то існує (p  1) різних первісних коренів за модулем , не порівняних за модулем p²

5.12.56. з) якщо n > 1, то існує тільки різних первісних коренів за модулем ;

5.12.57. к) якщо n > 1, то існує різних первісних коренів за модулем 2;

5.12.58. л) ab не є первісним коренем за модулем p, якщо a i b не є ними за цим самим модулем;

5.12.59. м) якщо p  число виду 4k + 1 i g  первісний корінь за модулем p; то g  первісний корінь за модулем p;

5.12.60. н) a^k  1(mod p), якщо P_p(a) = 2k i a не кратне p.

12.17. Довести, що не існує первісних коренів за модулем m, якщо:

5.12.61. a) m = 8;

5.12.62. б) m = ; ;

5.12.63. в) m = 36;

5.12.64. г) m = p, де i p  непарне просте число;

5.12.65. д) m  непарне складене число, яке ділиться, принаймні, на два різних простих множники.

12.18. Нехай p  просте непарне число. Довести, що

5.12.66. a) p має вигляд , якщо i n > 1;

5.12.67. б) p має вигляд , якщо i n > 1;

5.12.68. в) прості непарні дільники числа , де i a > 1 є дільниками числа або мають вигляд 2px + 1;

5.12.69. г) прості непарні дiльники числа є дільниками числа а + 1 або мають вигляд ;

5.12.61. д) множина простих чисел виду 2px + 1, , є нескінченною;

5.12.62. е) a є первісним коренем за модулем , , якщо а є первісним коренем за модулем p²;

5.12.63. є) , якщо а  непарне число, а кратне p, ; зокрема, довільний непарний первісний корінь g за модулем p^k є ним i за модулем 2p^k.

12.19. Довести, що:

5.12.64. а) первісний корінь за модулем m > 2 завжди є квадратичним нелишком за модулем m;

5.12.65. б) , якщо i a > 1;

5.12.66. в) , якщо i a > 1;

5.12.67. г) =, якщо i  канонічний розклад числа m;

5.12.68. д), якщо , де d = (a), p  просте число, , k > 1, i (a, p^k) = 1;

5.12.69. е) б якщо де d = (a), p  просте число, , k > 1, і (a, p^k) = 1;

5.12.70. є) P₅₉₂₉(16) = 1155.