5.11. Порівняння другого степеня, квадратичні лишки і квадратичні нелишки, символ Лежандра.
Номери
ваших індивідуальних завдань обчислюються
за формулою
(А
+
25k)(mod107),
k
= 0
5, де A
порядковий № за журналом,
порядковий номер навчальної групи.
Вибираються номери записані нежирним
шрифтом.
Зміст задач та завдань
-
Розв’язати порівняння, звівши їх до двочленних:
5.11.1.
а)
;
5.11.6. е)
;
5.11.2.
б)
;
5.11.7 є)
;
5.11.3.
в)
;
5.11.8 ж)
;
5.11.4.
г)
;
5.11.9. з)
.
5.11.5.
д)
;
-
Розв’язати задані порівняння, звівши їх до двочленних:
5.11.10.
а)
;
5.11.15. е)
;
5.11.11.
б)
;
5.11.16. є)
;
5.11.12.
в)
;
5.11.17. ж)
;
5.11.13.
г)
;
5.11.18. з)
.
5.11.14.
д)
;
11.3. Користуючись критерієм Ейлера, знайти всі квадратичні лишкі за модулями:
5.11.19. а) 5; б) 7;
5.11.20. в) 11; г) 13;
5.11.21. д) 17; е) 23;
5.11.22. є) 37; ж) 53.
-
Розв’язати способом спроб такі порівняння:
5.11.23.
а)
;
5.11.24.
б)
;
5.11.25.
в)
.
-
Обчислити символи Лежандра:
5.11.26.
а)
; 5.11.27.
б)
; 5.11.28.
в)
;
5.11.29. г)
; 5.11.30.
д)
; 5.11.31.
е)
;
5.11.32.
є)
; 5.11.33.
ж)
; 5.11.34.
з)
.
-
Користуючись символом Якобі, обчислити символи Лежандра:
5.11.35.
а)
; 5.11.36.
б)
; 5.11.37.
в)
;
5.11.37. г)
; 5.11.38.
д)
; 5.11.39.
е)
;
5.11.40.
є)
; 5.11.41.
ж)
; 5.11.42.
з)
.
-
Знайти кількість розв’язків таких порівнянь:
5.11.43.
а)
; 5.11.48.
е)
;
5.11.44.
б)
; 5.11.49.
є)
;
5.11.45.
в)
; 5.11.50.
ж)
;
5.11.46.
г)
; 5.11.51.
з)
;
5.11.47.
д)
; 5.11.52.
к)
.
-
Знайти x, якщо:
5.11.53.
а)
; 5.11.54.
б)
; 5.11.55.
в)
;
5.11.56. г)
; 5.11.57.
д)
; 5.11.58.
е)
.
-
Довести, що:
5.11.59.
а) порівняння
має розв’язки
,
якщо
p
– просте число виду 4k
+ 3,
а число
квадратичний лишок за модулем p;
5.11.60.
б) порівняння
має розв’язки
,
де
при
і
при
,
якщо p
– просте число виду 8k
+ 5,
а число
квадратичний лишок за модулем p;
5.11.61.
в) рівняння
не виконується при жодних цілих числах
x
і y;
5.11.62. г) при діленні добутку двох послідовних чисел на число 13 остача ніколи не дорівнює 1;
5.11.63.
д)
5.11.64.
е)
5.11.65. є)
5.11.66.
ж) порівняння
,
має розв’язки
,
,
,
,
де
один
з розв’язків заданого порівняння;
аналогічно за модулем
,
,
,
,
,
.
-
Використовуючи результати задач 15.9, а), б), розв’язати порівняння:
5.11.67.
а)
; 5.11.69.
в)
;
5.11.68.
б)
; 5.11.70.
г)
.
15.15. Чи проходять через точки з цілими координатами такі параболи:
5.11.71.
а)
; 5.11.73.
в)
;
5.11.72.
б)
; 5.11.74.
г)
.
-
Розв’язати в цілих числах рівняння:
5.11.75.
а)
;
5.11.78. г)
;
5.11.76.
б)
;
5.11.79. д)
.
5.11.77.
в)
-
Довести, що:
5.11.80.
а) розв’язки порівняння
,
де p
– просте число виду
,
мають вид
;
;
5.11.81.
б) порівняння
має розв’язки тоді і тільки тоді, коли
p
– просте число виду
;
5.11.82.
в) порівняння
має розв’язки тоді і тільки тоді, коли
p
– просте число виду 8m
+1
або 8m
+ 3;
5.11.83.
г) порівняння
має розв’язки тоді і тільки тоді, коли
p
– просте число виду 6m
+ 1;
5.11.84. д) множина простих чисел виду 4m + 1 нескінченна;
5.11.85. е) множина простих чисел виду 6m + 1 нескінченна;
5.11.86.
є) канонічний розклад числа виду
,
де (a,
b)
=
1, містить тільки прості числа виду 4m
+ 1;
5.11.87. ж) незалежно від простого непарного модуля p порівняння
,
мають завжди хоч один розв’язок;
5.11.88.
з) порівняння
,
де p
–
непарне просте число виду 7n+1,
має розв’язки при будь-якому натуральному
;
5.11.89.
к) порівняння
,
де p
–
непарне просте число виду 11n+2,
не має розв’язків;
5.11.90. л) для будь-якого натурального n число 1+2 +…+ n не може закінчуватися цифрою 7.
11.14. Використовуючи результат задачі 15.9, ж), розв’язати такі порівняння:
5.11.91.
а)
; 5.11.95.
д)
;
5.11.92.
б)
; 5.11.96.
е)
;
5.11.93.
в)
; 5.11.97.
є)
;
5.11.94.
г)
; 5.11.98.
ж)
.
11.15. Розв’язати порівняння:
5.11.99.
а)
; 5.11.101.
в)
;
5.11.100.
б)
; 5.11.102.
г)
.
11.16. Довести, що:
5.11.103.
а)
5.11.104.
,
якщо p
– непарний
простий дільник числа
,
де a,
b, x, y
– цілі числа і (ax,
by)
= 1;
5.11.105.
в)
10 541 =
,
якщо
;
5.11.106.
г)
непарні прості дільники p
чисел виду
при (x,
y)
= 1 мають вид p
=
8n
+ 1,
p
= 8n
+ 3;
5.11.107.
д)
непарні прості дільники p
чисел
виду
і
при (x,
y)
= 1 мають вид p
=
8n
+ 1,
p
= 8n
+ 7.