Производные функций, заданных параметрически

Если y(x) задана параметрически уравнениями то

.

Вторую производную находим по формуле

.

4.3.2. Пример выполнения задания 3

Найти производную :

а)

Дальнейшие преобразования не обязательны.

б)

Остальные примеры задания 3 выполняются аналогично.

4.3.3. Пример выполнения задания 4

Найти вторую производную функции y(x):

а)

Найдем первую производную

Т.к. , то

б)

Т.к.

то

Для использования формулы необходимо найти .

В нашем случае

отсюда .

4.4. Указания к заданию 5

4.4.1. Основные теоретические положения

При полном исследовании функции можно рекомендовать следующую схему:

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

3. Находим точки пересечения графика функции с координатными осями (если это возможно).

4. Исследуем функцию с помощью производной первого порядка: находим интервалы возрастания и убывания, точки экстремумом и экстремумы функции.

5. Исследуем функцию на границах области определения: находим асимптоты графика функции.

Указания: Различают горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.

График функции имеет горизонтальную асимптоту , если где а  любое число.

График функции может иметь наклонную асимптоту . Коэффициенты k и b находят по формулам

Наклонная асимптота будет существовать, если оба предела существуют и конечны. В противном случае график функции наклонной асимптоты не имеет.

Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты. Причем наличие горизонтальной асимптоты исключает наличие наклонной асимптоты и наоборот.

Если область определения функции содержит открытую конечную границу и хотя бы один из односторонних пределов то прямая является вертикальной асимптотой.

4.4.2 Пример выполнения задания 5

Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. Т.к. , то т.е.

2. , т.к. , то функция не является четной и , то функция не является нечетной. Получим, что есть функция общего вида.

3. , т.е.  точка пересечения графика функции с осью Оy.

Уравнение корней не имеет и график функции с осью Ох не пересекается.

4.

если ;

не существует если .

Получаем

При и функция возрастает,

при и функция убывает,

 точка максимума,

 максимум функции.

5. Исследуем поведение функции при .

Найдем т.е. прямая  горизонтальная асимптота. Так как есть горизонтальная асимптота, то наклонных асимптот нет.

Точки и не входят в область определения, поэтому будем исследовать функцию при Предварительно запишем функцию в виде

.

Получили, что прямая является вертикальной асимптотой.

.

Получили, что прямая является вертикальной асимптотой.

4.5. Указания к заданию 6

4.5.1. Основные теоретические положения

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если для любого выполняется равенство .

Если F(x)  первообразная для f(x), то функцию где С  некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), так как для любого числа С.

Множество всех первообразных для функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом .

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией,  подынтегральным выражением, а переменная х  переменной интегрирования.