2.3. Запись числа в системе счисления с постоянным основанием. Значащие цифры. Округление

Точные и приближенные числа, используемые при решении инженерных задач, для более привычного их восприятия представляют в десятичной системе счисления в виде разложения по степеням числа р =10. В компьютерном представлении применяется двоичная система счисления с основанием р =2.

В общем случае для целых чисел в позиционной системе с основанием p вес (стоимость) одной единицы, помещенной в разряд с номером k, равна р^k. Запись вида А_p = _k...₂₁₀ в системе с основанием р означает число, равное сумме А = _kр^k + ... + ₂р² + ₁p¹ + ₀р⁰. Величину основания р, используемую при записи числа А в системе с постоянным основанием, указывают в виде нижнего индекса:

_k...₂₁_0p = _kр^k + ... + ₂р² + ₁p¹ + ₀р⁰ (2.4)

Данное выражение называют развернутой формой представления целых чисел в позиционной системе счисления.

Пример 1. Запись вида А₁₀ = 295₁₀ в десятичной системе (р = 10), означает число, равное A = 2  10² + 9  10¹ + 5  10⁰.

Правильная дробь имеет нулевую целую часть. Результат перевода правильной дроби — всегда правильная дробь. Обыкновенной дробью называется ее представление в виде отношения m/n, где m (числитель) и n (знаменатель) — натуральные числа. Числитель m также может быть равен нулю.

В позиционной системе счисления с основанием p запись правильной дроби имеет вид 0,_–1_–2 …_–s (конечный или бесконечный), представляющий разложение числа по отрицательным (–1, –2, …) степеням p. Все величины, стоящие в разрядах дроби в системе с основанием p, как и у целых чисел, могут принимать значения от 0 до p – 1. Запись А_p = 0,_–1_–2 …_–s означает:

(0,_–1_–2 …_–s) _p = _–1p^–1 + _–2p^–2 + … +_–sp^–s. (2.5)

Пример 2. 0,47₁₀ = 4  10^–1 + 7  10^–2.

Дроби, задающие рациональные числа, могут быть конечными и бесконечными (периодическими). У конечной дроби запись обрывается, например 0,247₈. Запись бесконечной дроби состоит из предпериода (не повторяющаяся часть записи, стоящая сразу после запятой) и стоящего после него бесконечно повторяющегося периода. Период дроби указывается в круглых скобках.

Пример 3. Бесконечная периодическая дробь 0,245(37) имеет предпериод 245 и период, равный 37.

Если в разложении основания системы p на простые сомножители входят только 2 и 5 (раскладывающие число 10), например p = 25 = 55, то конечные дроби в таких системах всегда будут переводиться в конечные дроби в десятичной системе.

Если же в разложение основания p входят сомножители, отличные от 2 и 5, то конечные дроби в этих системах переводятся в бесконечные периодические десятичные дроби.

Обобщая правила записи целых и дробных чисел в позиционных системах, можно сказать, что номера разрядов слева от разделяющей запятой (в целой части числа) увеличиваются, начиная с нуля:0,1,2,…, а справа от запятой – убывают, начиная со значения (-1): (-1), (-2), (-3), …

Пример 4. Найти в десятичной системе запись дроби, представленной в системе с основанием 4 записью 0,312₄.

Решение. Поскольку основание р = 4 = 22 и 2 является делителем 10, то дробь 0,312₄ в десятичном представлении будет конечной. Найдем ее, используя определение (2.5.) записи правильных дробей в системах с постоянными основаниями:

0,312₄.= 3 4^–1 + 1  4^–2 + 2  4^–3 = 3 (0,25) + 1  (0,0625) + 2  (0,015625) = 0,75 + 0,0625 + 0,03125 = 0,84375.

Пример 5. Найти в десятичной системе запись дроби, представленной в системе с основанием 7 записью 0,53₄.

Решение. Основание р = 7 содержит множители (7), не являющиеся простыми делителями 10. Поэтому десятичное представление ее имеет вид бесконечной периодической дроби. Для определения ее предпериода и периода надо вычислить в ней достаточное число знаков. Используем для выполнения деления с большим числом знаков, например, калькулятор:

0,2₇.= 2 7^–1 = 2/7  0,28571428571428571428571428571429... .

Из общего вида записи следует, что предпериод у дроби отсутствует, а период равен (285714). В итоге выражение дроби в десятичной системе имеет вид: 0,2₇.=0,(285714)₁₀.

Естественным требованием к записи приближенных чисел в позиционных системах является минимальность погрешности. Вводится понятие значащих цифр - это все цифры числа от первой слева, не равной нулю, до последней цифры справа.

При записи чисел придерживаются следующего правила: если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры (которая всегда является значащей) числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа. Если абсолютная погрешность числа не указана, то все его значащие цифры считают верными.

Пример 6. Заданы следующие записи чисел: a₁ = 3,14; a₂ = 0,123; a₃ = 0,00211; a₄ = 0,12300. У чисел a₁, a₂, a₃ по 3 значащие цифры, у a₄ - 5 значащих цифр. Абсолютные погрешности чисел равны, соответственно, (а₁) = 0,01=10^-2; (а₂) = 0,001=10^-3; (а₃) = (а₄) = 0,00001=10^-5.

Если запись приближенного числа а^ в позиционной системе содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить, т.е. заменить числом а^₁, которое имеет меньшее количество значащих цифр, чем исходное число а^.

При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются по правилу: если первая отбрасываемая цифра больше или равна p/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому для того, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.

Вопросы для проверки знаний.

1. Чему равно число, представленное в системе с основанием р записью вида (_k...₂₁₀)_p ?

2. Какую запись называют правильной дробью ?

3. Что называют обыкновенной дробью ?

4. Чему равно число, представленное в системе с основанием р записью вида (0,_–1_–2 …_–s)_p ?

5. Какую форму представления имеют в системах счисления с постоянным основанием рациональные числа ?

6. Из каких частей состоит запись бесконечной периодической дроби ?

7. Какие цифры в записи числа называют значащими ?

8. В каких случаях применяют округление записей чисел в позиционных системах счисления ? В чем оно заключается и по какому правилу выполняется ?

Практические задания.

1. Найти в десятичной системе счисления величину:

а) целого числа, заданного в системе с основанием 7 записью вида 1010;

б) целого числа, заданного в системе с основанием 11 записью вида 19:

в) дроби, заданной в системе с основанием 5 записью вида 0,432:

г) величину дроби, заданной в системе с основанием 3 записью вида 0,121.

2. Сколько значащих цифр имеют записи чисел:

а) 245,084; б) 0, 0001001; в) 0,21000; г) 1,0000100 ?

3. Округлить записи чисел до первого знака после запятой:

а) 6,143₇; б) 12,111₃; в) 0,0043₁₀; г) 0,777₈; д) 120,13200₄.