V Автоматы и формальные языки

5.1. Обозначения

№	Символ	Значение символа	Примечание
1	¬	Не	¬Истина=ложь, ¬ложь=истина
2	^	И	К онъюнкция истина ложь истина истина ложь ложь ложь ложь
3	V	Или	Д изъюнкция истина ложь истина истина истина ложь истина ложь
4	∪	Или	Е1∪Е2-событие Е1, или Е2, или и то, и другое, не исключающее друг друга.
5	∩	И	Е1∩Е2- событие Е1 и Е2
6	~	Не	Ẽ- событие не Е
7	⊂	Включение	Отношение  превратилось в логическое отношение включения –С. Равенства А+В=В, или АВ=А эквивалентны отношению АВ или ВА, что соответствует записи А⊂В или В⊃А.
8	L	1	Логическая единица. L=истина
9	0	0	Логический ноль. L=ложь
10	∊	Принадлежит	А∊В- множество А ∊ множеству В
11	\

Общепринятые уравнения:

- Т(Е1∪Е2)=Т(Е1)+Т(Е2);

• Т(Е1∩Е2)= Т(Е1)Т(Е2);

〜

- Т(Ẽ) =Т(Е).

Пусть задано некоторое множество М. Всякое множество ℛ пар (а,b) при а,b∊М называется отношением в М. Вместо (а,b)∊ ℛ

будем писать .Отношение называется рефлексивным, если всегда ; транзитивным, если при и всегда выполняется ; симметричным, если при всегда выполняется ; антисимметричным, если при a≠b соотношения и никогда не выполняются одновременно

Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение называют отношением эквивалентности. Оно разбивает множество М на непересекающиеся классы эквивалентных элементов.

5.2. Автоматы

Пусть  - некоторое множество элементов, называемых состояниями, а  - некоторый набор знаков, называемый множеством входных символов. Для каждого состояния и каждого символа указано некоторое новое состояние, в которое переходит система.

1

Обозначим это, как отображение  из  в  или .

С алгебраической точки зрения речь идет о других множествах  и  со смешанной операцией t, s, ts. Такая алгебраическая структура называется детерминированным автоматом А=(,).

Переключательные схемы (простейшие элементы ИС) являются системами с состояниями и переходами из одних состояний в другие. По сути, они представляют собой автомат, состояниями которого являются состояния переключательной схемы, а входными символами – комбинации значений на входе переключательной схемы.

Символическое изображение переключательного элемента:

Входные параметры: а1, а2, а3, … аn.

Выходные параметры: b1, b2, b3 , … bn.

Причем b1=f1(а1, а2, а3, … аn),

b2 =f2(а1, а2, а3, … аn) и т.д.

5.3. Полугруппы, таблицы и диаграммы переходов

Под полугруппой понимают множество  с некоторой операцией умножения – ◦, представленной в виде отображения:

◦

, которая (операция) ассоциативна:

a, b, c : a◦(b◦c)=(a◦b)◦c

Здесь приняты обозначения:

 - для всех

: - выполняется следующее.

Операцию над элементами конечного множества можно представить в виде таблицы:

(5.1)

Диаграмма Кэли к таблице 5.1.

В ход Состояние

a0 b = b

a0 a = a

Что не всякое отображение  является ассоциативным, показывает следующий пример:

(5.2)

Следовательно (fg)f=ff=g,

f(gf)=fg=f.

В виде таблицы переходов можно описать и автомат с конечным числом состояний и входных символов. Для автомата с двумя состояниями r и s и четырьмя входными символами а, b, c, d эта таблица может выглядеть так:

(5.3)

Диаграмма переходов к таблице 5.3.

В ход Состояние

c0 s = s

b0 r = r

Для описания операций можно воспользоваться диаграммой Кэли или диаграммой переходов автоматов. В обоих случаях речь идет ориентированных графах с помеченными дугами. Элементы полугруппы, заключенные в кружок, соответствуют состоянию автомата и выступают в роли вершин графа. Дуга с буквой «а» соответствует входным символам и ведет от одного состояния к другому.

5.4. Автоматы с выходом

Автомат с выходом есть некоторое множество σ выходных символов, образованных путем отображения λ из γ×φ.

λ

γ×φ→ σ (5.4)

Если выходной символ зависит от входного символа и состояния, то это автомат Мили (5.4.). Если выходной символ зависит только от состояния:

λ

φ→ σ , (5.5)

то говорят об автомате Мура.

Пусть автомат с входными символами {0,L}и состояниями {s1, s2, …s10}имеет диаграмму переходов:

Из состояния s1 в состояние s10 можно попасть, подавая на вход слова:

LLL, LLLL, LLLLL, …

LLL0L, LL0L0L, …

0L0L0L0L, L00L00L00L00L00L00L, …

Этот автомат можно дополнить до автомата Мура, который, например, в состояниях s1, s2, … ,s9 будет выдавать символ «тихо», а в состоянии s10 – символ «звонок». А можно образовать автомат Мили, который дает звонок только тогда, когда состояние s10 достигается, например, при поступлении символа L на состояние s7, и никуда иначе.

5.5. Языки автоматов

Пусть в автомате A=(γ,φ) выделены два состояния: начальное – s0 и заключительное - sE . Говорят, что слово х=tktk-1 …t2t, допускается инициальным автоматом (a, s0, sE), если xs0=sE, т.е. если цепочка состояний s0, s1, … , sk, определяемая переходами

si+1=ti+1si (i=0,1, …, k-1) (5.6)

ведет к заключительному состоянию sk=sE.

Примеры автоматов с разным количеством допускаемых слов:

1. Автомат, воспринимающий одно единственное слово.

Слово: L

S1=SE

В состояние S1, можно попасть, задав на входе S0 – 0 (S1 = 0S), но это состояние S1 не будет заключительным. Из состояния S1 попасть в SE невозможно!

2. Автомат, воспринимающий ровно два слова.

Два слова: 0 или L.

S1 = SE

В заключительное состояние SE можно попасть только из S0, задав слово 0 или L. Тогда согласно определению инициального автомата SE = S1 = t1S0 = (0VL)S0. Из состояния SE в S1 попасть можно, наоборот нет! Существует как бы два состояния S1, одно из которых является заключительным SE.

3. Автомат, воспринимающий бесконечное множество слов.

На начальное состояние S0 могут подаваться слова:

L, 0L, 00L, 000L, …

4. В приведенных выше трех примерах речь идет о конечных автоматах, названных так по причине конечного числа состояний. Приведем пример бесконечного автомата:

Все состояния автомата, за исключением конкретного S0 = SE, обозначим Si, где i – натуральное число и полагаем

LSi = SE, если i = -1,

Si+1 в остальных случаях, (5.6)

SE, если i = 1,

0Si = Si-1 в остальных случаях.

Словарный запас описывается выражением – допускается всякое слово, которое состоит из одинакового числа 0 и L. Образно говоря «откуда вышли, туда и пришли».

4. Автомат – дерево.

Для конечных автоматов диаграмму переходов можно изображать в виде дерева с корнем в начальном состоянии. При этом ветвь обрывается, когда достигается состояние, которое уже было. Покажем диаграмму переходов автомата в виде дерева на примере §5.4.

5.6. Формальные языки

5.6.1.Формальные системы

Отдельные автоматы, индуцируемые последовательностью

входных символов t1, t2, … tk, можно выполнить последовательно друг за другом. При этом совокупное отображение будет представлено словом над набором γ

tk tk-1 … t2t1 (5.7)

Таким образом,

tk tk-1 … t2t1s = tk(tk-1 … t2t1s). (5.8)

Сами отдельные символы – это однобуквенные слова. Множество всех слов бесконечно, даже в том случае, когда набор знаков конечен.

Для слов определена операция с символом «◦»-конкатенация:

(tl tl-1 … tk+1)◦(tktk-1 … t2t1) = tl tl-1 … tk+1 tk … t1 (5.9)

Ассоциативность конкатенации очевидна. Поэтому множество слов над набором знаков γ является полугруппой относительно конкатенации. Эта полугруппа обозначается через γ* и называется свободной полугруппой с множеством порождающих γ.

Для изложения идеи формальных систем изменим несколько следующие понятия и введем новые:

1. Множество γ будем называть набором терминальных символов.

2. Под состояниями будем понимать так же символы, которые назовем нетерминальными символами или синтаксическими переменными.

3. Множество β=γUφ назовем словарем.

4. Таблицу переходов заменим конечным множеством примитивных правил замены – правил вывода.

_ _

Вместо s=ts будем писать xs → xts, для произвольного x γ*.

Направление стрелки – направление вывода, оно противоположно направлению перехода от одного состояния к другому. Например, a→ b означает, что «b» непосредственно выводимо из «a», т.е. «a» является предшественником «b».

a b ?!

_

Объяснение: а= s, b= ts. _