7

Глава 7. Численные методы алгебры. Итерационные методы РешениЯ систем лИнейных уравнений

При решении систем уравнений высоких порядков зачастую матрицы их являются разреженными – основная часть их коэффициентов являются нулевыми. Такие матрицы невыгодно хранить в виде обычных массивов, поскольку их нулевые элементы будут занимать слишком много места в памяти вычислительного устройства. Для них применяется выборочное хранение ненулевых элементов.

При решении систем линейных уравнений с разреженными матрицами наиболее эффективными являются итерационные методы.

7.1. Идея итерационных методов. Основные понятия

Итерационные методы позволяют определить решение системы линейных уравнений с заранее заданной точностью в виде последовательности приближенных решенийх⁽ⁱ⁾=(х₁ⁱ,х₂ⁱ,…,х_nⁱ),(i =1,…) сходящихся от начального приближениях⁽⁰⁾=(х₁⁰,х₂⁰,…,х_n⁰), к точному решению системы х*=(х₁*,х₂*,…,х_n*).

Начальное приближение для решения системых⁽⁰⁾ задается, исходя из физических особенностей решения задачи, известных решений близких задач либо других соображений.

Каждое текущее приближениех^(k+1) строится на основе предыдущих. Правило для расчетах^(k+1)(х^(k),х^(k-1),...) называют расчетной схемой итерационного процесса.

Поскольку точное решение х* неизвестно, то в качестве косвенной меры близости к нему принимают норму вектора разности двух последних приближений х^(k+1) их^(k): Если она стремится к нулю и пределх^(k+1) равен точному решениюх*, то такой итерационный процесс называют сходящимся. Его останавливают, когда рассмотренная норма становится меньше некоторого наперед заданного положительного числа :

_(7.1)

Если пределх^(k+1) не существует либо существует, но не равен точному решению х*, то такой итерационный процесс называют расходящимся.

Сходимость итерационного процесса к точному решениюх* зависит от удачного выбора начального приближениях⁽⁰⁾, а также от выбранной расчетной схемы процесса.

При наличии сходимости основным качественным показателем данных методов является скорость сходимости - число итераций, которое необходимо выполнить для получения решения заданной точности. Исследование сходимости итерационного процесса и оценка ее скорости являются центральными вопросами теории итерационных методов.

Данные методы решения систем линейных уравнений используют особенности хранения коэффициентов разреженных матриц. Поэтому для их реализации требуется меньшее количество вычислительных операций (около n²) и соответствующих затрат машинного времени.

Важным преимуществом итерационных методов являются простота их алгоритмов, которые сводятся к расчету очередных приближенийх^(k+1) по расчетной схеме итерационного процесса, проверке условия (7.1) окончания процесса и, возможно, выполнению некоторых вспомогательных расчетов.

Также существенным преимуществом данных методов является отсутствие накопления погрешностей вычислений.

Рассмотрим наиболее простые из итерационных методов решения систем линейных уравнений - метод простой итерации (метод Якоби) и метод Зейделя.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие матрицы называют разреженными, какой метод хранения применяют для их элементов ?

2. В чем заключается итерационный метод решения системы линейных уравнений?

3. Что называют расчетной схемой итерационного процесса ?

4. Какие итерационные процессы называют сходящимся, а какие расходящимся ?

5. По какой величине косвенно оценивают близость текущего приближенного решения к точному ?

6. От чего зависит сходимость итерационного процесса к точному решению?

7. Что называют скоростью сходимости итерационного процесса ?

8. Каковы преимущества итерационных методов ?