13

Глава 2. Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи

2.1. Погрешности вычислений на эвм

При решении задачи на ЭВМ практически невозможно получить точное решение. Получаемое численное решение почти всегда содержит погрешность, т.е. является приближенным. Погрешности решения задач на ЭВМ объясняются следующими причинами:

1) математическая модель задачи является приближенным описанием реального объекта или процесса, поэтому получаемые результаты также всегда будут приближенными, а их погрешности зависят от степени адекватности моделей реальному объекту или процессу;

2) исходные данные при решении вычислительной задачи, как правило, содержат погрешности. Это объясняется тем, что исходные данные получают в результате экспериментов, наблюдений, измерений или в результате решения вспомогательных задач;

3) применяемые для решения вычислительных задач методы в большинстве случаев являются приближенными, так как получить аналитическое решение задачи обычно не удается;

4) использование ЭВМ вносит ошибки, которые появляются при вводе-выводе данных в процессе вычислений.

С учетом указанных выше причин погрешность решения вычислительной задачи на ЭВМ складывается из трех составляющих:

- неустранимая погрешность;

- погрешность метода;

- вычислительная погрешность.

Неустранимая погрешность соответствует первым двум причинам и единственный способ уменьшить эту погрешность заключается в переходе к более точной модели или в использовании более точных входных данных.

Погрешность метода определяется третьей причиной, причем появление этой погрешности практически неизбежно при любых вычислениях.

Вычислительная погрешность возникает в основном из-за округления чисел при вводе-выводе, а также при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Это обусловлено ограниченной разрядностью ЭВМ и особенностями представления данных в памяти машины.

2. 2. Абсолютные и относительные погрешности представления чисел

При решении реальных задач из их физической постановки, как правило, всегда можно определить разумную точность выполнения вычислений. Например, перемещения звена механизма могут быть измерены штангенциркулем с точностью до 0,05 мм= 510^-5 м. Поскольку на практике достаточно выполнять расчеты с точностью на один порядок более высокой по сравнению с измерениями, то в данном случае расчетную точность достаточно принять равной 510^-5 10^-1 м =510^-6м =5 мкм.

Рассмотрим числовые характеристики погрешностей. Будем считать, что результат решения задачи на ЭВМ является приближенным числом.

Пусть а - точное число, которое может быть и неизвестным. Тогда приближенным числом а^ будем называть такое число, которое незначительно отличается от точного а и заменяет его в вычислениях. При этом говорят, что число а^ является приближением числа а и обозначают это как а^  а^. Для любого точного числа можно указать сколь угодно большое число его приближенных значений.

Пример 1. Пусть а=0,123456 - точное число. Тогда различные приближения можно задать следующим образом: а^₁=0,1; а^₂=0,12; а^₃=0,123; а^₄=0,1234; а^₅=0,12345.

Очевидно, что не все приближенные значения одинаково качественно заменяют точную величину. Для оценки данного качества применяют понятие погрешности. Разность r(а^,а) = (а^-а) между приближенным а^ и точным а числами называют погрешностью или ошибкой приближенного числа а^. При этом а^ = а + r(а^,а).

Поскольку возможно, что а^ > а или а^ < а, то вводится понятие абсолютной погрешности приближенного числа, которая обозначается как (а) и равна абсолютной величине отклонения (а^- а):

( а^) =r(а^,а)= а^- а . (2.1)

Возможны два случая вычисления абсолютной погрешности:

1) когда точное число известно (например, это дробь с большим числом знаком в дробной части: а =0,123456), в этом случае ( а^) всегда можно точно вычислить (например, при а^=0,12 погрешность (а^) =0,003456),

2) если точное число а не известно либо представляет собой бесконечную дробь, то абсолютную погрешность (а^) (как и ошибку а^) невозможно выразить точно и для нее используется понятие предельной абсолютной погрешности, которая задает не точный размер абсолютной погрешности, а ее верхнюю оценку:

 а^- а  ( а^). (2.2)

Если величина (а^) не достигается, то неравенство (2.2) должно быть строгим (<).

Предельная абсолютная погрешность применяется в тех случаях, когда точная абсолютная погрешность не может быть явно выражена.

Абсолютная погрешность (а^) (как точная, так и предельная) задает размер ошибки приближенного числа а^, выраженной в тех же единицах измерения, что и точная величина а. Единицы измерения могут быть базовыми - метры, секунды, кг и др., а также производными от них – составляющие кратную или дробную часть их (км – километр (10³ м), мм – миллиметр (10^-3 м), мкм –микрон (10^-6 м), мсек - миллисекунда (10^-3 сек),) либо их сочетание (м/сек – единица измерения скорости, кг/м³ – единица измерения плотности вещества и т.д.). Абсолютная погрешность (а^) является безразмерной величиной только в том случае, когда сама точная величина а не имеет физической размерности.

Абсолютная погрешность (а^) не соизмеряет величину ошибки, вносимой приближенным числом а^, его величиной. Для этого используют предельную относительную погрешность, под которой понимают отношение вида:

(а^) =(а^)/а^. (2.3)

Так как данная погрешность является отношением величин с одинаковой размерностью, то она безразмерна. Часто (а^) выражают в процентах. Использование относительной погрешности удобно для качественного сравнения приближений для разных величин - как по их величине, так и их физическому смыслу.

Пример 2. Значение а^ = 3,14 является приближенным значением точного числа а = , которое является иррациональным и численно выражается в виде бесконечной дроби вида  = 3,141592.... Точное значение его абсолютной погрешности (а^) и ошибки (а^- ) нельзя представить конечным числом, поскольку оно равно бесконечной дроби 0,001592.... Округлив данное значение до конечной дроби 0,001593, дающей величину предельной абсолютной погрешности (а^). При такой ее величине относительная погрешность представления числа  равна:

(а^) =0,001593/3,14  0,00051 = 0,051%.

Вопросы для проверки знаний.

1. Перечислите 4 основных причины появления погрешности при решении задач на ЭВМ.

2. Назовите 3 составляющих погрешность решения вычислительной задачи на ЭВМ и поясните их происхождение.

3. Что называют приближенным числом ?

4. Сколько приближенных чисел а^ может быть задано для фиксированного точного значения а?

5. Что называют погрешностью или ошибкой приближенного числа ?

6. Что называют абсолютной погрешностью приближенного числа ?

7. В каких случаях абсолютная погрешность является безразмерной величиной ?

8. Что называют предельной абсолютной погрешностью и в чем ее отличие от абсолютной погрешности?

9. Что называют предельной относительной погрешностью ?

10. Может ли иметь физическую размерность относительная погрешность ? Ответ пояснить.

Практические задания.

1. Основание натурального логарифма e - иррациональное число, приближенно равное 2,718281828.... Определить (или обосновать отсутствие) для его приближенного значения e^= 2,7:

а) ошибки,

б) абсолютной погрешности,

в) предельной абсолютной погрешности,

г) относительной погрешности.

2. Конечная дробь 0,0013051958 заменена приближенным значением а^=0,0013. Определить (или обосновать отсутствие) для а^:

а) ошибки,

б) абсолютной погрешности,

в) предельной абсолютной погрешности,

г) относительной погрешности.