4.2. Плоскость. Основные задачи

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости и :

,

.

1) Под углом между плоскостями и понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями, и, в частности, угол между нормальными векторами и этих плоскостей.

Поэтому угол между плоскостями и вычисляется по формуле:

. (3.43)

2) Условие параллельности двух плоскостей. Пусть плоскости и параллельны, тогда параллельны и их нормальные векторы и , следовательно, координаты векторов пропорциональны. Поэтому условие параллельности двух плоскостей имеет вид:

. (3.44)

3) Условие перпендикулярности двух плоскостей. Пусть плоскости и перпендикулярны, тогда перпендикулярны и их нормальные векторы и , следовательно, их скалярное произведение равно нулю. Поэтому, условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

. (3.45)

Пример 19. Параллельны ли плоскости и ?

Решение. Проверим условие (4.4): .

Так как , то оно не выполняется, следовательно, плоскости не параллельны.

Расстояние от точки до плоскости. Пусть заданы плоскость уравнением и точка .

Расстояние d от точки до плоскости равно модулю проекции вектора на направление нормального вектора , где – произвольная точка плоскости .

Следовательно:

.

Так как точка принадлежит плоскости , то , т.е. . Поэтому расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

. (3.46)

Пример 20. Найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение. 1) Приведем уравнение плоскости к общему виду. Для этого умножим обе части уравнения на 12, перенесем все слагаемые в левую часть, получим: .

2) Подставим значения коэффициентов и координаты точки в формулу (3.46):

.

Все выше сказанное оформим в виде таблицы 5.

Таблица 5

Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости через данную точку ,
Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Уравнение плоскости в отрезках
Нормальное уравнение плоскости
Угол между плоскостями :
Условие параллельности двух плоскостей и
Условие перпендикулярности двух плоскостей и
Расстояние от точки до плоскости

5. Прямая в пространстве

Прямая является примером простейшей линии в пространстве. Ее можно задать различными уравнениями.