3.4. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки этой плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе, называется осью параболы. Точка пересечения оси с параболой называется вершиной параболы.

Выберем систему координат Oxy так, чтобы ось Ox проходила через ось параболы в направлении от директрисы к F, а начало координат совместим с вершиной (расположим ее посередине между фокусом и директрисой). Тогда фокус имеет координаты (рис. 33) , а уравнение директрисы: .

у

М(x; y)

N

х

F (; 0)

x = –

Рис. 33

Пусть – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Тогда, по определению параболы, имеем MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:

, а .

Следовательно,

= .

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

,

откуда:

. (3.34)

Уравнение (3.34) называется каноническим уравнением параболы.

Свойства параболы:

1. Ось параболы является ее осью симметрии.

2. Эксцентриситет параболы = 1.

Если вершина параболы находится в точке , а ось параболы параллельна оси , то уравнение параболы примет вид:

. (3.35)

В зависимости от выбора системы координат уравнение параболы может иметь разный вид (рис. 34).

у х	у х
у х	у х

Рис. 34

3.5. Общее уравнение кривых второго порядка

Уравнение вида . Уравнения окружности (3.29), эллипса (3.31), гиперболы (3.33) и параболы (3.35) после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида:

, (3.36)

где числа и не равны нулю одновременно.

Теорема. Уравнение (3.36) всегда определяет кривую 2-го порядка, причем:

1. если – окружность;

2. если – эллипс;

3. если – гиперболу;

4. если – параболу.

При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Пример 16. Определить тип кривой, привести к каноническому виду уравнение кривой 2-го порядка.

а) ;

б) ;

в) .

Решение. а) Определим тип кривой: т.к. и , то по теореме 9 данное уравнение определяет эллипс.

Выделим полные квадраты для слагаемых, содержащих отдельно переменные и :

,

.

Получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке , большая полуось , малая полуось .

б) Определим тип кривой: т.к. и , то, по теореме 9, данное уравнение определяет гиперболу.

Выделим полные квадраты для слагаемых, содержащих отдельно переменные и :

,

Получили каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , большая полуось , малая полуось .

в) Определим тип кривой: т.к. и , то, по теореме 9, данное уравнение определяет параболу.

Выделим полные квадраты для слагаемых, содержащих переменную :

Получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке .

Общее уравнение второго порядка. Рассмотрим общее уравнение второй степени с двумя переменными:

, (3.37)

где A, B, C, D, E, F – произвольные действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля.

Оно отличается от уравнения (3.36) наличием члена с произведением , ().

Заметим, что с помощью формул поворота осей координат

где ,

можно преобразовать уравнение (3.37) в уравнение (3.36).

Если , то систему координат следует повернуть на угол .

Теорема. Пусть в прямоугольной системе координат дано общее уравнение кривых второго порядка (3.37). Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих видов:

1) – эллипс;

2) – мнимый эллипс;

3) – пара мнимых пересекающихся прямых;

4) – гипербола;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – парабола;

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпадающих прямых.

При этом уравнения вида 1–3 определяют кривые 2-го порядка эллиптического типа; уравнения вида 4–5 определяют кривые 2-го порядка гиперболического типа; уравнения вида 6–9 определяют кривые 2-го порядка параболического типа.

Замечание. Уравнение (3.37) определяет кривую:

– эллиптического типа, если ;

– гиперболического типа, если ;

– параболического типа, если .

Запишем основные сведения этого параграфа в таблицу 4.

Таблица 4