Системы координат на плоскости

Соотношения между декартовыми и полярными координатами
Расстояние между точками и
Деление отрезка в данном отношении
Площадь треугольника с вершинами , ,
Параллельный перенос системы координат
Поворот системы координат
Параллельный перенос и поворот осей на угол

2. Прямая на плоскости

2.1. Линии на плоскости. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается как множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами, только им присущими. Так, например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определить положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнение линии в декартовой системе координат. Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение линии можно записать в виде F(x, y) = 0, или, если это возможно, в виде y = f (x), где F(x, y), f (x) – некоторые функции.

Переменные и в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Таким образом, вместо изучения геометрических свойств линии, мы можем исследовать ее уравнение.

Для того чтобы установить лежит ли точка на заданной кривой, достаточно проверить, удовлетворяют ли координаты точки М уравнению этой кривой в выбранной системе координат.

Пример 5. Принадлежат ли точки и линии ?

Решение. Подставим в заданное уравнение вместо и координаты точки А, получим .

Следовательно, точка А не принадлежит данной линии.

Точка В принадлежит заданной линии, т.к. , т.е. координаты точки удовлетворяют данному уравнению.

Задача нахождения точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁ (x, y) = 0 и F₂ (x, y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т.е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

2.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей линией на плоскости является прямая. Различным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости задана произвольная прямая, не параллельная оси .

Пусть эта прямая пересекает ось в точке и образует с осью угол , (см. рис. 20).

у

М (х; у)

B (0; b)

α

N (х; b)

α

A (х; 0)

O

х

Рис. 20

Возьмем на прямой произвольную точку . Тангенс угла наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника MNB:

, или .

Введем обозначение , получим уравнение:

, (3.10)

которому удовлетворяют координаты любой точки прямой.

Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (3.10) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.10).

1. Если прямая проходит через начало координат, то , и, следовательно, уравнение этой прямой имеет вид:

.

Если , то прямая образует с осью острый угол , а при – тупой угол (рис. 21а).

2) Если прямая параллельна оси (рис. 21б),то , следовательно, , и уравнение (3.10) примет вид:

3. Если прямая параллельна оси (рис. 21в), то , и, следовательно, не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид: .

у

у

у

у = kx,

k > 0

у = kx,

k < 0

х = а

у = b

х

х

x

O

O

O

а) б) в)

Рис. 21

Общее уравнение прямой. Уравнение первой степени относительно и вида

, (3.11)

где А, В, С – произвольные числа, причем А и В – не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

Покажем, что уравнение (3.11) – уравнение прямой линии.

Возможны два случая:

1) Если , то уравнение (3.11) имеет вид , причем , т.е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси и проходящей через точку .

2) Если , то уравнение (3.11) можно представить в виде

, а это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (3.11).

1) Если , то уравнение (3.11) примет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси .

2) Если , то уравнение (3.11) примет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси .

3) Если , то уравнение (3.11) примет вид . Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (0; 0).

Уравнение прямой, проходящей через данную точкус данным угловым коэффициентом. Пусть прямая проходит через точку , и ее направление характеризуется угловым коэффициентом причем . Уравнение этой прямой можно записать в виде (3.10): , где – заданная величина, а – неизвестная величина, которую необходимо найти. Так как точка принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению, т.е. .

Подставим в уравнение (3.10), получим искомое уравнение прямой:

(3.12)

Уравнение (3.12) с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке . Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси .

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол .

Решение. Найдем угловой коэффициент: . Подставляя координаты точки , и значение в уравнение (3.12), получим искомое уравнение прямой:

или .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая проходит через точки и . Требуется составить уравнение этой прямой. Возьмем на прямой произвольную точку с текущими координатам .

Рассмотрим векторы и . Так как векторы (коллинеарные), то их координаты пропорциональны, т.е.

. (3.13)

Уравнение (3.13) – это уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Предполагается, что в уравнении (3.13) и .

Если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси ординат. Ее уравнение: .

Если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси абсцисс. Ее уравнение: .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение. В уравнение (3.13) подставим координаты точек и получим:

или ,

откуда после преобразований получим уравнение с угловым коэффициентом , или общее уравнение прямой .

Уравнение прямой «в отрезках». Пусть прямая пересекает ось в точке , а ось в точке (см. рис. 20). В этом случае уравнение (3.13) примет вид , или

. (3.14)

Уравнение (3.14) называется уравнением прямой «в отрезках».

у

b

(а; 0)

х

а

O

Рис. 22

Числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат (рис. 22).

Пример 8. Прямая задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках».

Решение. Преобразуем уравнение

,

получим .

Таким образом, прямая отсекает на оси отрезок и на оси отрезок .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Составим уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (рис. 23).

у

М₀ (х₀; у₀)

М (х; у)

х

O

Рис. 23

Возьмем на прямой произвольную точку и рассмотрим векторы и .

Так как , то получим уравнение:

. (3.15)

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Пример 9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. В уравнение (3.15) подставим координаты точки и координаты направляющего вектора , , получим искомое уравнение:

или .

Параметрические уравнения прямой. Рассмотрим уравнение прямой вида (3.15). Обозначим равные отношения величиной t, получим:

.

Откуда:

, . (3.16)

Уравнения (3.16) называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Пусть прямая проходит (рис. 24) через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

у

М₀ (х₀; у₀)

М (х; у)

х

O

Рис. 24

Возьмем на прямой произвольную точку и рассмотрим вектор . Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

,

или

(3.17)

Уравнение (3.17) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Из уравнения (3.17), раскрыв скобки, можно получить общее уравнение прямой (3.11).

Пример 10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Подставим в уравнение (3.17) значения , получим:

.

После преобразований, получим общее уравнение прямой:

.

Полярное уравнение прямой. Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние от полюса до данной прямой и угол между полярной осью и осью l, проходящей через полюс O перпендикулярно данной прямой (рис. 25).

l

A

p

М (r; φ)

r

α

φ

Р

O

Рис. 25

Рассмотрим уравнение прямой в полярных координатах (3.18). Совместим полярную и прямоугольную системы координат, взяв за полярный полюс и ось за полярную ось (рис. 26).

Пусть – точка на данной прямой. Из прямоугольного треугольника ОАМ:

.

Следовательно,

. (3.18)

Уравнение (3.18) называется уравнением прямой в полярных координатах.

Нормальное уравнение прямой. Запишем уравнение (3.18) в виде , или .

Но, в силу формул перехода от полярных координат к декартовым, имеем:

.

у

p

α

О

х

Рис. 26

Следовательно, уравнение (3.18) в прямоугольной системе координат примет вид:

. (3.19)

Уравнение (3.19) называется нормальным уравнением прямой.

Чтобы общее уравнение прямой (3.11) привести к нормальному уравнению прямой (3.19), нужно обе части уравнения (3.11) умножить на число

. (3.20)

Множитель называется нормирующим множителем. Знак противоположен знаку коэффициента .

Действительно, если (3.11) умножить на величину , получим . Это уравнение должно обратиться в уравнение (3.19), т.е. должны выполняться равенства:

, , .