5.2. Прямая в пространстве. Основные задачи Возможные случаи расположения прямых l1 и l2 в пространстве:

1) прямые лежат в одной плоскости и тогда они могут:

а) пересекаться произвольным образом;

б) быть параллельными;

в) быть перпендикулярными.

2) прямые не лежат в одной плоскости.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости и заданы каноническими уравнениями:

и .

1) Под углом между прямыми l1 и l2 понимают угол между направляющими векторами и этих прямых, поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем:

. (3.53)

Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части следует взять по модулю.

2) Условие параллельности двух прямых. Пусть прямые l₁ и l₂ параллельны, тогда параллельны и их направляющие векторы и , следовательно, координаты этих векторов пропорциональны. Поэтому условие параллельности двух прямых имеет вид:

. (3.54)

3) Условие перпендикулярности двух прямых. Пусть прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, тогда перпендикулярны и их направляющие векторы и , следовательно, их скалярное произведение равно нулю. Поэтому условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид:

. (3.55)

Пример 21. Найти угол между прямыми

и

Решение. Из данных уравнений прямых имеем:

= (2; –1; 3), = (2; 1; –1) = (2; –1; 3).

Направляющий вектор второй прямой перпендикулярен нормальным векторам и . Его можно рассматривать как векторное произведение этих векторов: = .

Следовательно,

=, или =(2; –8; –4).

Тогда угол между данными прямыми найдем по формуле (5.53):

.

Отсюда угол φ = 90⁰.

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости. Пусть прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости и заданы каноническими уравнениями:

и .

Прямая l₁ проходит через точку М₁ (x₁, y₁, z₁), прямая l₂ проходит через точку М₂ (x₂, y₂, z₂).

z М2 l2 - l1 М1 у O х Рис. 38

Векторы и – направляющие векторы этих прямых (рис. 38). Обозначим радиус-векторы точек М1 и М2 через и . Тогда – = = = , ). Прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости, если векторы ,, – компланарны.

Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: ··( - ) = 0, или:

. (3.56)

Уравнение (3.56) является условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если условие (3.56) нарушается, то прямые не лежат в одной плоскости.

Пример 22. Лежат ли прямые и в одной плоскости? Могут ли они быть параллельными?

Решение. Из данных канонических уравнений прямых имеем:

М₁ (2; 0; - 4), М₂ (- 5; 7; 0) – точки, принадлежащие первой и второй прямой соответственно. Направляющие векторы прямых (3; –1; 6) и = (–2; 9; 3).

Векторы = (–7; 7; 4), и – компланарны. Проверим условие (3.56):

.

Условие (3.56) не выполняется, следовательно, прямые не лежат в одной плоскости, а значит, и не могут быть параллельными.

Видим, что условие (3.54): также не выполняется.

Основные сведения данного параграфа оформим в виде таблицы 6.

Таблица 6