5.1. Уравнения прямой в пространстве

Общие уравнения прямой в пространстве. Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Поэтому прямая может быть задана уравнениями:

(3.47)

где каждое из уравнений определяет плоскость, причем координаты нормальных векторов и не пропорциональны.

Уравнения (3.47) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Они определяют прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы.

Канонические уравнения прямой. Пусть в пространстве задана прямая и точка. Рассмотрим произвольную точку и ненулевой вектор , параллельный данной прямой. Тогда векторы , где , и, следовательно, их координаты пропорциональны:

. (3.48)

Уравнения (3.48) называются каноническими уравнениями прямой. Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Пусть прямая l проходит через точки и .

Вектор можно рассматривать как направляющий вектор этой прямой, где . Так как точка лежит на прямой, то по формуле (3.48) получим уравнения:

. (3.49)

Уравнения (3.49) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

Параметрические уравнения прямой. Пусть прямая l задана каноническими уравнениями (3.49). Приравняем все части этого равенства к величине t:

Отсюда следуют равенства:

(3.50)

Уравнения (3.50) называются параметрическими уравнениями прямой.

Векторное уравнение прямой. Пусть в пространстве заданы прямая , точка и направляющий вектор прямой . Рассмотрим произвольную точку . Обозначим радиус-векторы точек и через и . Тогда (рис. 37)