Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Лінійним алгебраїчним рівнянням (ЛАР) називають рівняння, яке містить змінну лише у першій степені та не має добутку змінних. При розв’язку систем лінійних рівнянь використовують визначники та матриці.

Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими х₁, х₂, х₃, х_n:

(1)

Якщо хоча б один з вільних членів b_i≠0 , то система рівнянь (1) називається неоднорідною. Якщо всі вільні члени b_i = 0 (і=1,2,…, n ), то така система рівнянь називається однорідна та має вигляд

(2)

Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь(1) називається така множина значень невідомих x₁=c₁, x₂=c₂, …, x_n=c_n при яких кожне з рівнянь даної системи обертається в тотожність.

Якщо визначник системи ЛАР не дорівнює нулю, то система має розв’язки.

Система рівнянь, яка має розв’язки називається сумісною, а система рівнянь, яка не має розв’язків - несумісна.

Теорема Кронекера – Капелі. Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці з коефіцієнтів при невідомих:

r(A)=r(B)

Якщо r(A)=r(B)=n, то система визначена. Якщо r(A)=r(B)<n - невизначена. У випадку r(A)>r(B) система несумісна.

1. Розв’язок систем рівнянь за допомогою визначників (метод Крамера)

Визначником системи рівнянь (1) або (2) називається визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих даної системи рівнянь, тобто

Якщо визначник неоднорідної системи рівнянь відрізняється від нуля, тобто Δ≠0, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами Камера:

(3)

де Δ_i (i=1,2,…n) - визначник, який утворюється з визначника вихідної системи зміною i – го стовпця стовпцем вільних членів.

Однорідна система рівнянь завжди сумісна, так як має нульовий розв’язок x₁ = x₂ =…= x_n = 0 . Ненульовий розв’язок вона має тоді і лише тоді, коли Δ =0.

2. Метод послідовних виключень Гауса

До елементарних перетворень системи ЛАР відносяться:

1.Заміна місцями рядків (не стовпців).

2. Множення рядка на число.

3. Додавання до рядка іншого, помноженого на число.

Нехай дана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими x_{1 ,} x_{2 ,}…, x_n :

(4)

Метод послідовного виключення невідомих, або метод Гауса, який застосовується для розв’язку системи (4) складається в наступному. Припустимо, що a₁₁≠0 (це завжди можливо зробити за рахунок нумерації рівнянь), помноживши перше рівняння системи (4) на –a₂₁/a₁₁ та додавши його до другого, ми отримаємо рівняння, в якому коефіцієнт при x₁ дорівнює нуль. Помноживши перше рівняння на –a₃₁/a₁₁ та додавши результат до третього, ми отримаємо рівняння, яке також не містить члена з x₁ .Аналогічним шляхом перетворюємо всі інші рівняння, в результаті чого приходимо до системи, яка еквівалентна до вихідної системи рівнянь:

(5)

де (і=2, 3,…,n;) – деякі нові коефіцієнти.

Припустимо, що , та залишаючи незмінним перші два рівняння системи (5) перетворимо її так, щоб в кожному з інших рівнянь коефіцієнти при x₂ перетворився на 0. Продовжуючи це процес, систему можливо привести до однієї з наступних систем:

(6)

де с_іі (i=1, 2, …, n) – деякі коефіцієнти, с_іі ≠0; d_i - вільні члени;

(7)

де k<n;

(8)

де k≤n .

Система (6) має єдиний розв’язок; значення x_n знаходиться з останнього рівняння, значення x_n-1 – з передостаннього, значення x₁ – з першого.

Система (7) має безліч розв’язків. З останнього рівняння цієї системи можливо виразити одне з невідомих ( наприклад, x_k) через інші n-k невідомі (x_k+1, x_k+2 , …, x_n ), які входять в це рівняння; з передостаннього рівняння можливо виразити x_k-1 через ці невідомі і т.д. В отриманих формулах, які виражають x₁, x₂, …,x_k через x_1+k, x_2+k, …,x_n невідомі x_1+k, x_2+k, …,x_n можуть приймати будь-які значення.

Система (8) несумісна, так як ніякі значення невідомих не можуть задовольнити її останньому рівнянню.

Таким чином метод послідовного виключення невідомих може бути застосований до любої системи лінійних рівнянь. Розв’язуючи систему цим методом, перетворення здійснюють не над рівняннями, а над матрицями, складеними з коефіцієнтів при невідомих та вільних членів.

3. Матричний метод розв’язування систем

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь(1), яка в матричному вигляді записується як:

АХ=В,

де

Звідки

Х=А^-1В.

5.Однорідна система ЛАР

Однорідна система ЛАР має вигляд

Вона завжди сумісна, оскільки r(A)=r(B).

Теорема:

Для того щоб однорідна система ЛАР мала ненульові розв’язки необхідно і достатньо щоб r(A)<n.

Необхідність:

Якщо r(A)=r(B)=n то система має єдиний розв’язок (нулі).

Достатність:

Якщо r(A)=r(B) <n, то система невизначена, тобто має безліч розв’язків.

Розв’язки однорідних ЛАР мають такі властивості:

1. Якщо Е₁ = (t₁, t₂, t_n) – ненульовий розвязок системи, то при будь-якому с с₁Е₁=(с₁ t₁, с₁t₂, с₁t_n) також розв’язок системи.

2. Якщо Е₂ = (v₁, v₂,… v_n) – є іншим ненульовим розв’язком системи, то с₂Е₂=(с₂v₁, с₂v₂, с₂v_n) також розв’язок системи та с₁Е₁+ с₂Е₂ теж розв’язок системи.

Тобто будь яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.

Набір Е₁ ,Е₂ , …Е_n лінійнонезалежних розв’язків називається фундаментальною системою розв’язків.

Нехай маємо однорідну систему ЛАР:

r(A)=r(B) <n

Припустимо, що визначник порядку r, який не дорівнює нулю знаходиться в лівому верхньому куті.

Перетворимо перші r рівнянь (лінійно незалежні) таким чином, щоб доданки після стовпця r були в правій частині.

Змінні, які знаходяться в правій частині назвемо вільними; позначимо їх будь-якою літерою, та вважатимемо, що вони можуть приймати будь-яке значення. В результаті можливо виразити розв’язки початкової системи.

Таким чином ми отримаємо систему k=n-r розв’язків. Ці розв’язки є лінійно незалежні, тобто вони утворюють фундаментальну систему розв’язків.