Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛинейнаяАлгебра.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
13.11.2018
Размер:
956.42 Кб
Скачать

Міністерство освіти і науки України

Запорізька державна інженерна академія

Укладач доц. Василенко О.В.

Типовий розрахунок

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

На тему ”Лінійна алгебра”

Методичні вказівки

до виконання типового розрахунку

для студентів економічних спеціальностей ЗДІА

Запоріжжя

2005 р.

Міністерство освіти і науки України

Запорізька державна інженерна академія

Типовий розрахунок

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

На тему ”Лінійна алгебра”

Методичні вказівки

до виконання типового розрахунку

для студентів економічних спеціальностей ЗДІА

Рекомендовано до видання

на засіданні кафедри ЕК,

протокол № 1 від 30.08.2005 р.

Матриці та визначники.

  1. Матриці та дії над ними

Матрицею називається система m × n чисел, розташованих в прямокутній таблиці з m рядків та n стовпців. Числа цієї таблиці називаються елементами матриці. Позначення матриці:

Елементи ai1, ai2,…,ain складають i -ий рядок (i=1,2,…,m) матриці, елементи a1k, a2k,…,amk – її k -ий стовпець(k=1,2,…,n); aik- елемент, належить i -ому рядку та k -ому стовпцю матриці; числа i, k називаються індексами елемента.

Матриця , яка містить m рядків та n стовпців, називається матриця розміром m × n .

Застосовують також скорочені позначення матриць m×n: Матрицю позначають також великою літерою, наприклад:

Дві матриці Am×n=(aik)m×n , Bp×q=(bik)p×q називаються рівними, якщо p=m, q=n та aik=bik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n); іншими словами якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні елементи рівні між собою.

Матриця, яка складається лише з одного рядка, називається матриця-рядок. Матриця, яка складається лише з одного стовпця, називається матриця-стовпець.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою.

Квадратною називається матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, тобто матриця вигляду

Порядком квадратної матриці називається число рядків (або стовпців).

Будемо казати, що елементи a11, a22,…,ann квадратної матриці утворюють її головну діагональ, а елементи a1n, a2n-1,…,an1другу діагональ.

Діагональною називається матриця, у якої всі елементи, які не належать головної діагоналі дорівнюють нулю.

Одинична матриця – це діагональна матриця, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці.

Транспонована матриця до матриці А утворюється заміною місцями рядків зі стовпцями, виглядає як

Квадратна матриця, яка співпадає зі своєю транспонованою матрицею називається симетричною.

Для кожної матриці існує протилежна матриця :

А=[aij] -A=[- aij],

Таким чином А+(-А)=0.

Лінійними діями над матрицями називаються додавання та відіймання матриць, множення матриці на число. Додавання та відіймання матриць визначається тільки для матриць однакових розмірів.

Сумою матриць A=(aik)mn , B=(bik)mn називається така матриця C=(cik)mn що

cik=aik+bik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n),

тобто матриця, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць-доданків. Сума двох матриць A i B позначається A+B.

Різницею A-B матриць A=(aik)mn , B=(bik)mn називається матриця D=(dik)mn , для якої

dik=aik-bik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n).

Добутком матриці A=(aik)mn на число α ( або числа α на матрицю A) називається матриця B=(bik)mn, для якої

bik= α aik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n),

тобто матриця, яка отримана з даної множенням всіх елементів на число α. Добуток матриці на число позначається Aα або αA .

Добуток матриць визначається для матриць, в яких число стовбців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Такі матриці називаються зціпленими.

Добутком матриці A=(aik)mn на матрицю B=(bik)nl називається така матриця C=(cik)ml для якої

cik=ai1b1k + ai2b2k +…+ ainbnk=

тобто елемент cik матриці Сml дорівнює сумі добутків елементів i -ого рядка матриці Amn на відповідні елементи k -ого стовпця матриці Bnl . Матриця Сml має m рядків та l стовпців. Добуток матриці A на матрицю B позначається AB .

Зауваження 1. З того, що матицю A можна помножити на матрицю B не випливає, що матрицю B можна помножити на матрицю A. В загальному випадку AB≠BA. Якщо АВ=ВА, то матриці А та В називають перестановочні.

Зауваження 2. АЕ=ЕА=А

Властивості матриць:

1. Додавання матриць є асоціативною та комутативною операцією.

А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С)

А+О=О+А=А О-А=-А А-А=0

2. Множення матриць на дійсні числа λ та μ.

(λμ)А= λ (μА) (λ+μ)А= λА+μА λ(А+В)= λА+ λВ

λО=О (-1)А=-А

2. Для транспонованих матриць

(А+В)ТТТ

(kA)T=kAT (AB)T=BTAT

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]