Міністерство освіти і науки України

Запорізька державна інженерна академія

Укладач доц. Василенко О.В.

Типовий розрахунок

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

На тему ”Лінійна алгебра”

Методичні вказівки

до виконання типового розрахунку

для студентів економічних спеціальностей ЗДІА

Запоріжжя

2005 р.

Міністерство освіти і науки України

Запорізька державна інженерна академія

Типовий розрахунок

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

На тему ”Лінійна алгебра”

Методичні вказівки

до виконання типового розрахунку

для студентів економічних спеціальностей ЗДІА

Рекомендовано до видання

на засіданні кафедри ЕК,

протокол № 1 від 30.08.2005 р.

Матриці та визначники.

1. Матриці та дії над ними

Матрицею називається система m × n чисел, розташованих в прямокутній таблиці з m рядків та n стовпців. Числа цієї таблиці називаються елементами матриці. Позначення матриці:

Елементи a_i1, a_i2,…,a_in складають i -ий рядок (i=1,2,…,m) матриці, елементи a_1k, a_2k,…,a_mk – її k -ий стовпець(k=1,2,…,n); a_ik- елемент, належить i -ому рядку та k -ому стовпцю матриці; числа i, k називаються індексами елемента.

Матриця , яка містить m рядків та n стовпців, називається матриця розміром m × n .

Застосовують також скорочені позначення матриць m×n: Матрицю позначають також великою літерою, наприклад:

Дві матриці A_m×n=(a_ik)_m×n , B_p×q=(b_ik)_p×q називаються рівними, якщо p=m, q=n та a_ik=b_ik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n); іншими словами якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні елементи рівні між собою.

Матриця, яка складається лише з одного рядка, називається матриця-рядок. Матриця, яка складається лише з одного стовпця, називається матриця-стовпець.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою.

Квадратною називається матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, тобто матриця вигляду

Порядком квадратної матриці називається число рядків (або стовпців).

Будемо казати, що елементи a₁₁, a₂₂,…,a_nn квадратної матриці утворюють її головну діагональ, а елементи a_1n, a_2n-1,…,a_n1 – другу діагональ.

Діагональною називається матриця, у якої всі елементи, які не належать головної діагоналі дорівнюють нулю.

Одинична матриця – це діагональна матриця, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці.

Транспонована матриця до матриці А утворюється заміною місцями рядків зі стовпцями, виглядає як

Квадратна матриця, яка співпадає зі своєю транспонованою матрицею називається симетричною.

Для кожної матриці існує протилежна матриця :

А=[a_ij] -A=[- a_ij],

Таким чином А+(-А)=0.

Лінійними діями над матрицями називаються додавання та відіймання матриць, множення матриці на число. Додавання та відіймання матриць визначається тільки для матриць однакових розмірів.

Сумою матриць A=(a_ik)_mn , B=(b_ik)_mn називається така матриця C=(c_ik)_mn що

c_ik=a_ik+b_ik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n),

тобто матриця, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць-доданків. Сума двох матриць A i B позначається A+B.

Різницею A-B матриць A=(a_ik)_mn , B=(b_ik)_mn називається матриця D=(d_ik)_mn , для якої

d_ik=a_ik-b_ik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n).

Добутком матриці A=(a_ik)_mn на число α ( або числа α на матрицю A) називається матриця B=(b_ik)_mn, для якої

b_ik= α a_ik (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n),

тобто матриця, яка отримана з даної множенням всіх елементів на число α. Добуток матриці на число позначається Aα або αA .

Добуток матриць визначається для матриць, в яких число стовбців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Такі матриці називаються зціпленими.

Добутком матриці A=(a_ik)_mn на матрицю B=(b_ik)_nl називається така матриця C=(c_ik)_ml для якої

c_ik=a_i1b_1k + a_i2b_2k +…+ a_inb_nk=

тобто елемент c_ik матриці С_ml дорівнює сумі добутків елементів i -ого рядка матриці A_mn на відповідні елементи k -ого стовпця матриці B_nl . Матриця С_ml має m рядків та l стовпців. Добуток матриці A на матрицю B позначається AB .

Зауваження 1. З того, що матицю A можна помножити на матрицю B не випливає, що матрицю B можна помножити на матрицю A. В загальному випадку AB≠BA. Якщо АВ=ВА, то матриці А та В називають перестановочні.

Зауваження 2. АЕ=ЕА=А

Властивості матриць:

1. Додавання матриць є асоціативною та комутативною операцією.

А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С)

А+О=О+А=А О-А=-А А-А=0

2. Множення матриць на дійсні числа λ та μ.

(λμ)А= λ (μА) (λ+μ)А= λА+μА λ(А+В)= λА+ λВ

λО=О (-1)А=-А

2. Для транспонованих матриць

(А+В)^Т=А^Т+В^Т

(kA)^T=kA^T (AB)^T=B^TA^T