Асимптоты графиков функций
Определение. Асимптоты графика функции – это такие линии (прямые или кривые), к которым неограниченно приближается указанный график при неограниченном его продолжении.
В частности, на
рис. 8 изображен график функции
,
имеющий три асимптоты: вертикальную
прямую
,
горизонтальную прямую
и кривую
.
При этом, согласно этого рисунка,
вертикальная прямая
является асимптотой графика функции
лишь при
(при x,
стремящемся к a
справа). При
(слева) эта прямая асимптотой графика
функции
не является. Горизонтальная прямая
является асимптотой графика функции
при
.
А кривая
является асимптотой графика этой функции
при
.
-
Нахождение вертикальных асимптот.
Рисунок 8
свидетельствует: если прямая
– вертикальная асимптота графика
функции
,
то должны выполняться два условия:
-
a – точка разрыва функции
;
(1) -
(+
или –)
или
(+
или –).
И обратно, если
выполняются оба условия (1), то прямая
– вертикальная асимптота графика
функции
.
Из сказанного
вытекает следующая схема
нахождения вертикальных асимптот
графика функции
:
1) Находим все точки разрыва (а1; а2; …) функции, то есть те изолированные точки оси ох, в которых функция не определена (ибо там, где элементарная функция определена, там она и непрерывна).
2) Каждую из точек разрыва проверяем на выполнимость второго условия (1).
Пример 5. Найти вертикальные асимптоты графика функции
и сделать геометрическую иллюстрацию полученного результата.
Решение.
Данная функция не определена, а
следовательно, разрывна лишь в двух
точках оси ох:
и
.
Проверим каждую из них на выполнимость
второго условия (1):
;
.
Второе условие
(1) выполняется для точки
и не выполняется для точки
.
Значит, лишь прямая
является вертикальной асимптотой
графика нашей функции, причем и при
,
и при
.
А прямая
(ось оу)
вертикальной асимптотой графика функции
не является. Геометрическая иллюстрация
полученных результатов дана на рис. 9.
Н
а
этом рисунке представлено лишь то, что
выяснено выше: поведение функции y
возле ее точек разрыва
и
.
Вдали от этих точек мы эту функцию не
исследовали, поэтому ее график не
известен (он лишь намечен пунктирной
линией).
2. Нахождение наклонных (невертикальных) асимптот.
Рассматривая рис.
8, приходим к очевидному выводу: если
некоторая линия L
с уравнением
является невертикальной асимптотой
графика функции
при
или при
,
то это значит, что при таком изменении
x
функция
,
то есть
,
а значит
,
где
при
или при
.
(2)
И обратно, при
выполнении (2) функция
– асимптота функции
.
В частности, если
,
где
при
или при
,
(3)
то соответственно
при
или при
горизонтальная прямая
будет асимптотой графика функции
.
Пример 6. Найти невертикальные асимптоты графика функции
.
Решение.
Для их нахождения нужно выяснить
поведение функции y
при
и при
.
а) Если
,
то очевидно, что
;
.
Поэтому при
функция
.
А это значит, что линия L
с уравнением
является асимптотой графика нашей
функции при
.
б) Если
,
то очевидно, что
;
.
Поэтому при
наша функция
.
А это значит, что при
асимптотой графика нашей функции y
является горизонтальная прямая
.
Пример 7.
Определить все имеющиеся асимптоты
графика функции
и изобразить поведение этого графика
возле его асимптот.
Решение.
Начнем с нахождения области определения
функции y.
Функция определена, а следовательно, и
непрерывна для всех x,
кроме
.
То есть
– единственная точка разрыва нашей
функции. А значит, вертикальная прямая
,
проходящая через эту точку – единственная
возможная вертикальная асимптота
графика нашей функции.
Проверим,
действительно ли она – вертикальная
асимптота. Для этого выясним, в соответствии
с (1), поведение функции y
при
и при
:
;
То есть
при
и
при
.
А это значит, что вертикальная прямая
является асимптотой графика функции
y,
причем и при
,
и при
.
Теперь поищем
возможные невертикальные асимптоты.
Для этого рассмотрим поведение функции
y
при
и при
.
а) Если
,
то
.
Учтем, что
(это устанавливается делением
на
«в столбик»). То есть
,
где
,
.
И так как
при
,
а
при
к нулю не стремится, то при
наша функция
.
А это, в соответствии с (2), означает, что
линия с уравнением
(прямая) является асимптотой графика
нашей функции y
при
.
б) Если
,
то буквально повторяя (а), приходим к
выводу, что прямая
является асимптотой графика нашей
функции и при
.
Теперь изобразим график нашей функции вместе с его асимптотами. Для более качественного построения этого графика найдем еще точки его пересечения с осями координат.
-
С осью ох:
.
-
С
осью оу:
.
А теперь строим график (рис. 10).
Упражнения
Найти асимптоты графиков функций
а)
;
б)
;
в)
и
построить эти графики вместе с их
асимптотами.
Ответ: - см. рис. 11 (а) – (в).
Общая схема исследования функции
Пусть
– некоторая заданная функция. Требуется
провести ее всестороннее (полное)
исследование и построить ее график.
Указанное полное исследование функции
можно провести по следующей схеме.
-
Находим область определения функции. Заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва.
-
Исследуем функцию на четность-нечетность и тем самым устанавливаем возможную симметрию графика функции (относительно оси oy или относительно начала координат). Для этого записываем выражение
и сравниваем его с
:
а) Если
,
то функция
– четная. Ее график симметричен
относительно оси оу
(рис. 12 (а)).
б) Если
,
то функция
– нечетная. Ее график симметричен
относительно начала координат (рис. 12
(б)).
в) Если не имеет
место ни вариант (а) ни вариант (б), то
функция
– общего вида (ее график симметрией (а)
и (б) не обладает).
-
Исследуем функцию на периодичность (на повторяемость ее графика). Из элементарных функций это имеет смысл делать лишь для тригонометрических функций, ибо прочие функции заведомо не периодичны.
-
Исследуем поведение функции возле найденных в пункте 1 точек ее разрыва, а также возле границ области ее определения, учитывая при этом информацию, полученную в пунктах 2 и 3. Заодно устанавливаем (определяем) вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.
-
Находим интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума (с помощью первой производной
).
Заодно находим вершины и впадины графика
функции и устанавливаем их тип (округлые;
острые). -
Находим интервалы выпуклости и интервалы вогнутости функции и точки ее перегиба (с помощью второй производной
).
Заодно находим точки перегиба графика
функции. -
Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
-
Строим график функции.
Пример 8.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
Решение. Реализуем изложенную выше схему.
-
Область определения функции
– любые x,
кроме
.
То есть функция определена (а следовательно,
и непрерывна) на всей числовой оси ох,
кроме точки
,
которая, таким образом, является
единственной точкой разрыва функции. -
Исследуем функцию
на четность-нечетность. Имеем:
;
тогда
.
Как видим,
.
Значит, наша функция – нечетная, ее
график симметричен относительно начала
координат. А значит, в дальнейшем
достаточно исследовать функцию лишь
для
,
ибо для
можно будет учесть указанную выше
симметрию. -
Функция
– алгебраическая (не тригонометрическая),
а следовательно, не периодична. -
Исследуем поведение функции возле точки ее разрыва
(справа, при
),
а также при
(на правой границе области ее определения):
а) При
функция
То есть
(
при
).
А это значит, что
вертикальная прямая с уравнением
(ось оу)
является вертикальной асимптотой
графика функции. К ней справа (при
)
неограниченно приближается график
функции, устремляясь при этом вверх
(рис. 13 (а)):
б) При
функция
стремится, очевидно, к
,
ибо
.
При этом, очевидно,
при
функция
стремится к
эквивалентно функции
,
так как
при
.
А это значит, что график нашей функции
при
стремится к прямой
.
То есть прямая
– асимптота (наклонная асимптота)
графика нашей функции. Причем график
функции
при
стремится к прямой
сверху,
ибо
для всех
(рис. 13 (б)).
-
Найдем интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции (схема исследования изложена выше).
а) Находим
производную
:
;
б) Найдем точки (значения x), подозрительные на экстремум:
.
не существует
.
Точку
исследовать не будем, так как она не
входит в область определения функции.
Не будем исследовать и отрицательную
точку
(см. пункт 2).
в) Нанесем оставшуюся
подозрительную на экстремум точку
на область определения функции (на ось
ох).
При этом ограничимся рассмотрением
лишь положительной полуоси
:
В обоих получившихся
интервалах найдем знак производной
и отметим его. Тем самым устанавливаем
интервал возрастания
и интервал убывания
функции. Заодно устанавливаем, что
– точка минимума функции.
г) Найдем значение функции в точке минимума и тем самым определим впадину графика функции:
;
точка
– впадина графика функции (округлая,
т.к.
).
-
Найдем интервалы выпуклости и интервалы вогнутости функции, а также точки перегиба функции и ее графика (схема исследования изложена выше).
а) Найдем
:
;
б) Найдем точки (значения x), подозрительные на перегиб:
таких x
нет.
не существует
.
Но учитывать точку
не будем, так как она не входит в область
определения функции. Итак, рассматриваемая
функция не имеет подозрительных на
перегиб точек, а значит, точек перегиба
у неё нет. И так как для
,
то для всех
функция наша вогнутая.
-
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
а) С осью ох:
таких x
нет.
б) С осью оу:
– не сущ.
Таким образом, ни с осью ох, ни с осью оу график нашей функции не пересекается.
-
Строим график функции – сначала для
,
а затем, по симметрии относительно
начала координат, и для
(рис. 14).