Дифференциал функции.

Понятие дифференциала функции тесно связано с понятием ее производной. Как и производная функции, дифференциал функции принадлежит к числу важнейших понятий математического анализа и введен в математику Ньютоном и Лейбницем параллельно с понятием производной.

Вспомним определение производной функции в некоторой фиксированной точке x ( формулы 5 и 6):

( 19 )

Здесь – приращение аргумента x, а – соответствующее приращение функции y.

Будем считать, что данная функция дифференцируема в рассматриваемой фиксированной точке x. То есть будем считать, что производная в этой точке существует и конечна. Тогда, согласно ( 19 ),

при ( 20 )

А это значит, что при малых значениях будем иметь:

( 21 )

Причем приближенные равенства ( 21 ) будут тем точнее, чем меньше (и соответственно чем меньше ).

А теперь будем считать приращение аргумента функции не просто малым, а бесконечно малым, и назовем его дифференциалом аргумента x. Введем (следуя Лейбницу) для него и специальное обозначение:

dx – дифференциал аргумента x. ( 22 )

Таким образом, дифференциал dx аргумента x – это бесконечно малое приращение этого аргумента. Конечно, только что введенное понятие дифференциала переменной x – математическая абстракция (она сродни диаметру точки или толщине линии). Но математика постоянно пользуется абстракциями, поэтому еще одна абстракция пугать нас не должна.

Если приращение аргумента x бесконечно мало (), то и приращение функции y тоже будет бесконечно мало. Обозначим его символом dy и будем называть дифференциалом функции y. Так как , то

– дифференциал функции y. ( 23 )

Если теперь в приближенных равенствах ( 21 ) заменить малые, но конечные и на бесконечно малые dx и dy, то эти равенства станут точными.

( 24 )

Оба равенства ( 24 ) имеют важный смысл. Первое из них дает выражение производной функции y через отношение дифференциалов dy и dx функции и аргумента. А второе дает выражение дифференциала функции dy через производную функции и дифференциал аргумента dx.

Кстати, если учесть, что , то последнее равенство ( 24 ) можно записать подробнее:

( 25 )

А если еще учесть исходное выражение ( 23 ) для дифференциала функции , то из последнего равенства получаем:

( 26 )

Равенство ( 26 ) позволяет записать значение функции в точке , бесконечно близкой к точке x, через значение функции и ее производной в самой точке x. Эта формула имеет большое теоретическое значение.

Если в равенстве ( 26 ) заменить бесконечно малое dx на малое, но конечное , то вместо точного оно станет приближенным:

( 27 )

Равенство ( 27 ) называется простейшим вариантом формулы Тейлора. Эта приближенная формула тем точнее, чем меньше . Она используется для приближенного вычисления значения по значениям и . У формулы ( 27 ) имеется и ясный геометрический смысл – мы его укажем далее. Там же мы приведем и полный вариант формулы Тейлора.

В частности, применяя эту формулу для функций ; ; ; , и т.д., получим следующие интересные формулы для производства приближенных вычислений:

1) ; ( – в радианах) 2) ; ( 28 )

3) ; ;

4) ; ;

В частности, используя последнюю формулу, получим:

.

Для сравнения: точное значение . То есть приближенное значение , полученное вручную, отличается от его точного значения лишь в четвертом знаке после запятой.

Вернемся все же к формулам, служащим для нахождения дифференциала функции . На базе этих формул можно установить следующие

свойства дифференциала функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. (29)

Здесь С – любая константа, а , и – любые дифференцируемые функции. Действительно:

1. ;

2. .

Совершенно аналогично доказываются и остальные свойства (29).