Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Теорема 8.
Если функция
дифференцируема в точке x,
то она и непрерывна в этой точке. Обратное
не гарантировано.
Доказательство.
Пусть функция
дифференцируема
в точке x.
Это значит, что ее производная
существует и конечна в точке x.
То есть
существует и конечен. По определению предела это значит, что
при
.
То есть при малых
имеем
,
откуда
,
причем это приближенное равенство тем
точнее, чем меньше
.
Устремляя в нем
,
получаем, что и
.
А это, в силу (5), и означает непрерывность
функции
в точке x.
Первая часть теоремы доказана.
Обратно, если
функция
непрерывна в некоторой точке x,
то это еще не значит, что она дифференцируема
в этой точке. Например, функция
,
график которой изображен на рис.7,
непрерывна в любой точке x,
ибо её график сплошной (без разрывов).
И тем не менее в точках x1,
x2
и x3,
как было показано выше, она не
дифференцируема.
Упражнения
-
Опираясь на геометрический смысл производной показать, что
а) производная
функции
для любого x
равна 2;
б) производная
функции
для любого x
равна 0;
в) производная
функции
для
положительна, а для
отрицательна.
-
Уравнение движения точки по ее траектории (рис.3) имеет вид:
.
Показать, что точка тормозит при своем
движении. -
Функция
– уравнение кривой спроса (рис.6).
Показать, что для любых допустимых q
производная этой функции отрицательна.
Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Правила дифференцирования.
Опираясь на математическое определение производной ( 6 ), а также на ее физический ( 7 ) и геометрический ( 11 ) смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.
Пример 1.
Пусть
(С
– произвольная константа). Найдем
производную
этой функции. То есть найдем производную
константы С.
Решение. Его можно получить тремя способами.
а) Способ 1 – геометрический.
Графиком функции
является горизонтальная прямая.
Касательной к этой прямой, проведенной
в любой ее точке, будет она сама. Ее угол
наклона
к оси ох равен
нулю. Но
.
Значит, согласно ( 11),
.
б) Способ 2 – физический.
Функция
от x
не зависит, то есть с изменением x
не меняется. А значит, скорость v(x)
ее изменения равна нулю. Но ведь скорость
изменения функции, согласно ( 7) – это
производная функции. Таким образом,
если
,
то
.
Физический смысл этого вывода очевиден:
если координата y
движущейся точки неизменна, то точка
стоит. А значит, скорость ее движения
равна нулю.
в) Способ 3 – математический.
Воспользуемся математическим определением (1.6) производной функции:
Итак, разными
способами получаем один и тот же вывод:
если
,
то
.
Пример 2.
Пусть
.
Найдем производную
этой функции.
Решение.
Его наиболее просто получить геометрическим
способом. Графиком функции
является прямая, представляющая собой
биссектрису первого и третьего
координатных углов. Ее угол наклона к
оси ох
составляет 45º. Касательная к этой прямой
в любой ее точке (при любом x)
совпадает с этой же прямой. Поэтому,
опираясь на геометрический смысл
производной, получаем:
.
То есть
.
Этот же результат, заметим, следует и
из математического определения
производной (6):
Пример 3.
Пусть
.
Найдем производную
этой функции.
Решение.
Графиком функции
является парабола. Касательная к ней в
разных ее точках имеет разное направление
(разный угол наклона
к оси ох).
Поэтому использовать геометрическую
формулу ( 11) для нахождения производной
этой функции в данном случае затруднительно.
Затруднительно использовать и физический
смысл производной ( 7 ). Тогда остается
воспользоваться её математическим
определением ( 6 ):
Итак, если
,
то
.
Используя математическое определение производной ( 6 ), можно найти производные всех основных элементарных функций. Приведем уже в готовом виде таблицу производных этих функций.
Таблица производных основных элементарных функций
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
5*
;
6.
;
6*.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
( 17 )
13.
;
14.
.
Таблицу производных желательно выучить наизусть.
Выведем некоторые производные.
Пример 4.
Производная функции
,
где n
– целое положительное число, равна
.
Решение.
Имеем функцию
.
Воспользуемся для вывода математическим
определением производной.
Что и требовалось получить.
Пример 5.
Производная функции y=sinx,
равна
.
Решение.
Пример 6.
Производная функции
равна
.
Решение.
Обратим внимание,
что производные степенной и показательной
функции (формулы 4 и 5) находятся по
разным формулам; что из всех показательных
функций
наиболее простую производную имеет
функция
;
что из всех логарифмических функций
наиболее простую производную имеет
натуральный логарифм
.
Нахождение производных многих других элементарных функций (более сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих правил вычисления производных (правил дифференцирования функций):
-
;
-
; -
;
-
;
-
.
( 18 )
Здесь
и
– любые две дифференцируемые функции,
а С
– любая константа.
Несмотря на то, что таблица производных ( 17 ) и правила дифференцирования ( 18 ) известны еще из курса школьной математики, приведем вывод этих правил, основанный на использовании определения производной (6).
Теорема 10.
Постоянный множитель можно вынести за
знак, т.е.
,
где С- константа.
Доказательство.
Пусть у нас есть дифференцируемая
функция
.
Найдем производную функции
.
,
,
,
,
что и требовалось доказать.
Теорема 11.
Производная суммы конечного числа
дифференцируемых функций равна
соответствующей сумме производных
этих функций, т.е.
.
Доказательство.
Пусть у нас есть две дифференцируемые
функции
и
.
Найдем производную функции
.
,
,
,
,
что и требовалось доказать.
Теорема 12.
Производная от произведения двух
дифференцируемых функций равна
произведению производной первой функции
на вторую функцию плюс произведение
первой функции на производную второй
функции т.е.
.
Доказательство.
Пусть у нас есть две дифференцируемые
функции
и
.
Найдем производную функции
.
,
,
,
что и требовалось доказать.
Теорема 13.
Производная дроби (т.е. частного от
деления двух функций) равна дроби, у
которой знаменатель есть квадрат
знаменателя данной дроби, а числитель
есть разность между произведением
знаменателя на производную числителя
и произведением числителя на производную
знаменателя т.е.
.
Доказательство.
Пусть у нас есть две дифференцируемые
функции
и
.
Найдем производную функции
.
,
,
,
,
что и требовалось доказать.
Пример 7.
;
Решение.
Пример 8.
;
Решение.
.
Полученный результат
,
наряду с формулами ( 17 ), полезно запомнить.
Пример 9.
;
Решение.
.
Пример 10.
;
Решение.
Полученный результат
тоже полезно запомнить.