§ 5. Вихревые линии

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего пред­ставьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вих­ревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора , а плотность их в любой области пропорциональна величине . Из уравнения (II) дивергенция  всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7 (вып. 5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, на­пример окрасив их чернилами, то в процессе движения жидко­сти и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить . Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v. А с новым значением  можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахождении поля В по дан­ным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все после­дующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере ча­стично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто за­кон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым ли­ниям (фиг. 40.13,а).

Фиг. 40.13. Группа вихревых линий в момент t (а) и те же самые линии в более поздний момент t' (б).

Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости бу­дет находиться где-то в другом месте. Вообще го­воря, он будет иметь фор­му цилиндра с другим диа­метром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально умень­шению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение  на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без танген­циальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции I на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности . Момент же инерции цилиндра пропорционален mr². Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что

Но масса будет одной и той же (М₁=М₂), а площадь пропор­циональна R², так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости момент количества движения элемента жидкости изме­ниться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14.

Фиг. 40.14. Распространяющиеся вихревые кольца.

Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической коробки с натянутым на ее открытое основа­ние толстым резиновым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает кольцевой вихрь. Хотя этот вихрь уви­деть нельзя, можно смело утверждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоящей в 3—6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной скоростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предварительно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

Кольца дыма (фиг. 40.15,а) — это просто баранка из вих­ревых линий.

Фиг. 40.15. Движущееся вих­ревое кольцо (я) и его попереч­ное сечение (б).

Поскольку =Xv, то эти вихревые линия описывают также циркуляцию v (фиг. 40.15,б). Для того чтобы объяснить, почему кольцо движется вперед (т. е. в направ­лении, составляющем с направлением  правый винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличивается к внут­ренней поверхности кольца, причем скорость внутри кольца направлена вперед. Поскольку линии  переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью v. (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

Здесь необходимо ука­зать на одну серьезную трудность. Как мы уже от­мечали, уравнение (40.90) говорит, что если перво­начально завихренность  была равна нулю, то она всегда останется равной нулю. Этот результат — крушение теории «сухой» воды, ибо он означает, что если в какой-то момент значение  равно нулю, то оно всегда будет равно нулю, и ни при каких обстоятельствах создать завихренность нельзя. Однако в на­шем простом опыте с барабаном мы могли породить вихревые кольца в воздухе, который до того находился в покое. (Ясно, что пока мы не ударили по барабану, внутри него v = 0 и =0.) Все знают, что, загребая веслом, можно соз­дать в воде вихри. Несомненно, для полного понимания поведе­ния жидкости следует перейти к теории «мокрой» воды.

Другим неверным утверждением в теории «сухой» воды является предположение, которое мы делали при рассмотре­нии потока на границе между ним и поверхностью твердого предмета. Когда мы обсуждали обтекание потоком цилиндра (например, фиг. 40.11), то считали, что жидкость скользит по поверхности твердого тела. В нашей теории скорость на поверх­ности твердого тела могла иметь любое значение, зависящее от того, как началось движение, и мы не учитывали никакого «трения» между жидкостью и твердым телом. Однако то, что скорость реальной жидкости должна на поверхности твердого тела сходить на нуль,— экспериментальный факт. Следова­тельно, наши решения для цилиндра и с циркуляцией, и без нее неправильны, как и результат о создании вихря. О более правильных теориях я расскажу вам в следующей главе.

Главa 41

ТЕЧЕНИЕ «МОКРОЙ» ВОДЫ

§ 1.Вязкость

§ 2. Вязкий поток

§ 3.Число Рейнольдса

§ 4.Обтекание кругового цилиндра

§ 5. Предел нулевой вязкости

§ 6.Поток Куеттэ

§ 1. Вязкость

В предыдущей главе мы говорили о поведе­нии воды, пренебрегая при этом эффектами вязкости. Теперь же мне хотелось бы обсудить, как вязкость влияет на течение жидкости. Рас­смотрим реальное поведение жидкости. Я опишу качественно, как ведет себя жидкость в самых разных условиях, так чтобы вы получше прочувствовали эту науку. И хотя вы увидите сложные уравнения и услышите о трудных вещах, наша цель совсем не в том, чтобы изучить все тонкости. Цель этой главы скорее «общеобразовательная», просто я хочу дать вам некоторое понятие о том, как устроен мир. Однако здесь все же есть один пункт, который стоит того, чтобы его выучить: полезно знать простое определение вязкости. С него мы и начнем. Все же остальное предназначено для вашего удовольствия.

В предыдущей главе мы нашли, что законы движения жидкости содержатся в уравнении

В нашем приближении «сухой» воды мы отбра­сывали последнее слагаемое, так что всеми эффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая жидкость несжимаемой, и при этом получали дополнительное урав­нение;

•v=0.

Это приближение часто оказывается вполне приличным, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях мы почти никогда не можем пренебречь внутрен­ним трением, называемым нами вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе свя­зано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуля­ция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить.

Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы занимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то пред­мет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциаль­ным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляющую скорости, тангенциальную к поверхности пред­мета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникнове­ния сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот ока­зывается, хотя это далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы заме­чали, конечно, что лопасти вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблюдать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воз­духом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вра­щаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измерен­ная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласо­валась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности).

Сначала мы характеризовали жидкость так, что если при­ложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой экспе­римент. Предположим, что имеются две плоские твердые пла­стины, между которыми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин неподвижна, тогда как другая движется парал­лельно ей с малой скоростью v₀.

Фиг. 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинками.

Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то найдете, что она пропорциональна площади пластины и отно­шению v₀/d, где d — расстояние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига F/A пропорционально v₀/d:

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициен­том вязкости.

Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2).

Фиг. 41.2. Напряжения сдви­га в вязкой жидкости.

Силы в этом объеме определяются выражением

Далее, дv_x/дy представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны скорости изменения деформаций сдвига.

В общем случае мы пишем

При равномерном вра­щении жидкости производ­ная дu_х/ду равна дv_y/дx с обратным знаком, a S_xy будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равно­мерно вращающейся жидкости напряжения отсутствуют. (Подобную же вещь мы проде­лывали в гл. 39 при определении е_xy .) Разумеется, для S_yz и S_гх тоже есть соответствующие выражения.

В качестве примера применения этих идей рассмотрим дви­жение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его скорость будет v_а, а радиус внешнего цилиндра пусть будет b, а скорость равна v_b (фиг. 41.3).

Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.

Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на рас­стоянии r от оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии r от оси, то ее координаты как функции времени будут

x = rcost, у=rsint,

где =v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны

v_x=-rsint =-у и v_y= rcost=х. (41.4)

Из формулы (41.3) получаем

Для точек с у=0 имеем д/ду=0, а х(д/дх) будет равно r(d)/dr). Так что в этих точках

(Разумно думать, что величина S должна зависеть от д/дr, когда  не изменяется с r, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.) Вычисленное нами напряжение представляет собой танген­циальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндриче­ской поверхности радиусом r, путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса r и площадь 2rl:

Поскольку движение воды стационарно и угловое уско­рение отсутствует, то полный момент, действующий на ци­линдрическую поверхность воды между радиусами r и r+dr, должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии r должен уравновешиваться равным ему и противоположно на­правленным моментом сил на расстоянии r+dr, так что  не должно зависеть от r. Другими словами, r³(d/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и

d/dr=A/r³ (41.8)

Интегрируя, находим как  изменяется с r:

Постоянные А и В должны определяться из условия, что =_a в точке r=a, a =_b в точке r=b. Тогда находим

Таким образом,  как функция r нам известна, а стало быть, известно и v=r.

Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8);

или

Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэф­фициентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удер­живается в неподвижном состоянии пружинным динамометром, который измеряет действующий на него момент сил, а внутрен­ний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).

Из определения коэффициента вязкости вы видите, что  измеряется в ньютон•сек/м². Для воды при 20° С

=10³ нъютон•сек/м².

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна , деленной на плотность . При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

Вода при 20°С /=10^-6м²/сек

Воздух при 20°С /=15•10^-6м²/сек. , (41.12)

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Напри­мер, для воды непосредственно над точкой замерзания отно­шение / в 1,8 больше, чем при 20° С.