§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­лили там «момент силы, действующий в плоскости», например _xy, следующим образом:

_xy=xF_y-yF_x.

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

_ij=r_iF_j-r_jF_i. (31.22)

Как видите, величина _ij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть _ij с каким-то век­тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то _ij должен преобра­зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для _ij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что _ij-— действительно тензор.

Однако _ij принадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

_ij=-_ji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: _xy, _yz и _zz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

=(_x,. _y, _z) = (_yz, _zx, _xy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор ==rXF является тен­зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве­личин a_ib_j образуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ложения r величины r_ir_j являются тензором, а поскольку _ij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действитель­но является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сей­час я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже гово­рили немного о подобных на­пряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости  на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке y/z, рас­положенной в этой плоскости.

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости  на площади y/z, действует на материал, нахо­дящийся справа, с силой F₁.

Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой F₁ (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —F₁. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила F₁ про­порциональна площади y/z.

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно­женному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущей­ся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна по­верхности: помимо давления (положительного или отрицатель­ного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если раз­рез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориента­цией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор нап­ряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу F₁, действующую на разрезе, на ее компо­ненты: F_x1, F_y1, F_z1 (фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила F₁, дейст­вующая на элементе площади yz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компонен­ты: F_x1, F_у1 и f_z1.

Отношение этих сил к площади y/z мы назовем S_xx, S_yx и S_zx. Например,

S_yx=F_у1/yz

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угод­но, площадь yz можно записать как а_х, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

S_yx=F_у1/а_х

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку xz действует сила F₂.

Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы опре­деляем три компоненты на­пряжения S_xy, S_yy, S_zy как силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди­кулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Наконец, проведем воображаемый раз­рез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты S_xz, S_yz и S_zz. Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточ­но, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состоя­ние, и что S_ij-—действительно тензор. Предположим, что мы хо­тим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, ис­ходя из S_ij? Можно, и это делается следующим образом. Вооб­разите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изобра­женная на фиг. 31.8.

Фиг. 31.8. Разложение на компо­ненты силы F_n, действующей на грани N (с единичной нормалью n).

(Это, конечно, частный случай, но он до­статочно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напря­жения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее пол­ная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на гра­ни, параллельные осям координат, известны нам непосред­ственно из тензора S_ij. А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выра­зить через S_ij.

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу­дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио­нальны x,y, z, тогда как поверхностные силы пропорцио­нальны xy, yz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если z достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

F_x2=S_xyхz,

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямо­угольную грань, равна

F_x1=S_хxz.

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единич­ный вектор нормали к грани N, а через F_n — действующую на нее силу, тогда получим

F_xn=S_xxyz+S_xyxz.

Составляющая напряжения по оси х (S_xn), действующего в этой плоскости, равна силе F_xn, деленной на площадь, т. е. z(x²+y²), или

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение х/(x²+y²) — это косинус угла  между n и осью у и может быть записан как п_у, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, y/(x²+y²) равно sin=n_х. Поэтому мы можем написать

S_xn=S_xxn_x+S_xyn_y

рели теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

S_xn= S_xxn_x+S_xyn_y+S_xzn_z,

или в еще более общей форме:

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы S_ij и полностью описать внутреннее напряжение.

Уравнение (31.24) говорит, что тензор S_ij связывает силу S_n с единичным вектором n точно так же, как _ij связывает Р с Е. Но поскольку n и S_n — векторы, то компоненты S_ij при изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что S_ij действительно тензор.

Можно также доказать, что S_ij симметричный тензор. Для этого нужно обратить внимание на силы действующие на маленький кубик материале. Возьмем кубик, rpaни которого параллельны осям координат, и посмотрим на eго разрез (фиг. 31.9).

Фиг. 31.9. х- и у-компоненты сил, действующих на четыре грани маленького единичного кубика.

Если допустить что ребра куба равны единице, то х- и y-компоненты сил на гранях, перпендикулярных к осям х и у, должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как это показано на рисунке. Заметьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент си иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительно центра равен произведению (S_yx-S_xy) на единичную длину ребра куба, а поскольку полный момент равен нулю, то S должно быть равно S_xy, и тензор напряжений, таким образом, оказывается симметричным.

Благодаря этой симметрии тензора S_ij его можно то; описывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим: осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в направлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никак сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении действуют только нормальные силы. Это соответствует гидростатическому давлению (положительному или отрицательном. Таким образом, для гидростатического давления тензор диагонален, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем написать

(31.25)

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компонен­ту S_ij как функцию положения. Тензор напряжений, таким об­разом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных по­лей, подобных температуре Т(х, у, z), и векторных полей, по­добных Е(х, у, z), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задавае­мого в каждой точке пространства девятью числами, из кото­рых для симметричного тензора S_ij реально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твер­дом теле требует знания шести функций координат х, у и z.