- •§ 1. Внутренняя геометрия кристаллов
- •§ 2. Химические связи в кристаллах
- •§ 3. Рост кристаллов
- •§ 4. Кристаллические решетки
- •§ 5. Симметрии в двух измерениях
- •§ 6. Симметрии в трех измерениях
- •§ 7. Прочность металлов
- •§ 8. Дислокации и рост кристаллов
- •§ 9. Модель кристалла по Брэггу и Наю
- •Глава 31
- •§ 2. Преобразование компонент тензора
- •§ 3. Эллипсоид энергии
- •§ 4. Другие тензоры; тензор инерции
- •§ 5. Векторное произведение
- •§ 6. Тензор напряжений
- •§ 7. Тензоры высших рангов
- •§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса
- •§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике
- •§ 3. Волны в диэлектрике
- •§ 4. Комплексный показатель преломления
- •§ 5. Показатель преломления смеси
- •§ 6. Волны в металлах
- •§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
- •Глава 33
- •§ 2. Волны в плотных материалах
- •§ 3. Граничные условия
- •§ 4. Отраженная и преломленная волны
- •§ 5. Отражение от металлов
- •§ 6. Полное внутреннее отражение
- •Глава 34
- •§ 2. Магнитные моменты и момент количества движения
- •§ 3. Прецессия атомных магнитиков
- •§ 4. Диамагнетизм
- •§ 5. Теорема Лармора
- •§ 6. В классической физике пет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма
- •§ 7. Момент количества движения в квантовой механике
- •§ 8. Магнитная энергия атомов
- •Глава 35
- •§ 2. Опыт Штерна — Герлаха
- •§ 3. Метод молекулярных пучков Раби
- •§ 4. Парамагнетизм
- •§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием
- •§ 6. Ядерный магнитный резонанс
- •Глава 36 ферромагнетизм
- •§ 2. Поле н
- •§ 3. Кривая намагничивания
- •§ 4. Индуктивность с железным сердечником
- •§ 5. Электромагниты
- •§ 6. Спонтанная намагниченность
- •Глава 37
- •§ 2. Термодинамические свойства
- •§ 3. Петля гистерезиса
- •§ 4. Ферромагнитные материалы
- •§ 5. Необычные магнитные материалы
- •§ 2. Однородная деформация
- •§ 3. Кручение стержня; волны сдвига
- •Собирая теперь все воедино, находим
- •§ 4. Изгибание балки
- •§ 5. Продольный изгиб
- •Глава 39
- •§ 2. Тензор упругости
- •§ 3. Движения в упругом теле
- •§ 4. Неупругое поведение
- •§ 5. Вычисление упругих постоянных
- •Течение «сухой» воды
- •§ 2. Уравнение движения
- •§ 3. Стационарный поток; теорема Бернулли
- •§ 4. Циркуляция
- •§ 5. Вихревые линии
- •§ 2. Вязкий поток
- •§ 3. Число Рейнольдса
- •§ 4. Обтекание кругового цилиндра
- •§ 5. Предел пулевой вязкости
- •§ 6. Поток Куеттэ
- •2. Method of formation
- •Sir Lawrence Bragg and j. F. Nye
- •3. Grain boundaries
- •4. Dislocations
- •1. Пузырьковая модель
- •2. Способ образования пузырьков
- •3. Границы зёрен
- •4. Дислокации
Собирая теперь все воедино, находим
или
Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распространяются по стержню со скоростью
Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем медленнее движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит быстрее. Скорость ее не зависит от диаметра стержня.
Волны кручения представляют частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — это такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В волнах кручения мы сталкиваемся с особым распределением напряжений сдвига — они распределены по кругу. Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут распространяться с одной и той же скоростью, которая определяется формулой (38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли.
В мире упругих явлений возможен и другой сорт волн внутри твердого материала. Если вы толкнете что-нибудь, то можете возбудить «продольные» волны, так называемые волны «сжатия». Они подобны звуковым волнам в воздухе или в воде, т. е. перемещение вещества в них происходит в ту же сторону, что и распространение волны. (На поверхности упругого тела могут распространяться и другие типы волн, называемые «волнами Рэлея». Деформация в них ни продольная, ни поперечная. Однако у нас нет времени говорить о них подробно.)
Раз уж мы коснулись вопроса о волнах, то какова скорость волн чистого сжатия в большом твердом теле, подобном Земле? Я сказал в «большом», ибо скорость звука в массивном теле отлична от скорости, свойственной, скажем, тонкому стержню. Под массивным телом я подразумеваю тело, поперечные размеры которого много больше длины волны звука. Поэтому, нажимая на такой объект, можно обнаружить, что он не «раздается» в стороны — он может сжиматься только в одном направлении. К счастью, однако, мы уже разобрали специальный случай сжатия «сдавленного» упругого материала, а в гл. 47 (вып. 4) мы познакомились еще со скоростью звука в газе. Рассуждая так же, как и выше, вы можете убедиться, что скорость звука в твердом теле равна (Y'/), где Y' — «продольный модуль», т. е. давление, деленное на относительное изменение длины (для случая «сдавленного» стержня). Равно это просто отношению l/l к F/A, полученному нами в уравнении (38.20). Таким образом, скорость продольных волн определяется выражением
Поскольку значение заключено между 0 и 1/2, то модуль сдвига меньше модуля Юнга Y, a Y', кроме того, больше Y, так что
<Y<Y'.
Это означает, что продольные волны распространяются быстрее, чем волны сдвига. Один из наиболее точных способов определения упругих постоянных вещества дает измерение плотности материала и скоростей двух сортов волн. Из этой информации можно получить как Y, так и . Кстати, именно измеряя разность во времени прихода двух сортов волн от землетрясения, сейсмологи только по сигналам, принятым одной станцией, способны установить расстояние до эпицентра.
§ 4. Изгибание балки
Разберем теперь другой практический вопрос — изгибание балки, стержня или бруска. Чему равны силы, необходимые для изгибания балки произвольного поперечного сечения?
Мы определим эти силы для балки круглого сечения, но ответ будет пригоден для балки любой формы. Чтобы сберечь время, мы кое-где упростим дело, так что теория, которую мы разовьем, будет только приближенной. Наши результаты верны лишь при том условии, что радиус изгибания много больше толщины балки.
Представьте, что вы ухватились за оба конца прямой балки и согнули ее в виде кривой, похожей на ту, что изображена на фиг. 38.11.
Фиг. 38.11. Изогнутая балка.
Что же происходит внутри балки? Раз она искривлена, значит, материал на внутренней стороне сгиба сжат, а на внешней стороне растянут. Но имеется какая-то поверхность, более или менее параллельная оси балки, которая и не сжата, и не растянута. Называется она нейтральной поверхностью. По-видимому, эта поверхность проходит где-то «посредине» поперечного сечения. Можно показать (но я не буду этого здесь делать), что для небольшого изгиба простой балки нейтральная поверхность проходит через «центр тяжести» поперечного сечения. Но это справедливо только для «чистого» сгиба, т. е. когда балка не растягивается и не сжимается как целое.
При чистом сгибе тонкий поперечный отрезок балки возмущен (фиг. 38.12, а).
Фиг. 38.12. Маленький отрезок изогнутой балки (а) и поперечное сечение балки (б).
Материал под нейтральной поверхностью испытывает деформацию сжатия, которая пропорциональна расстоянию от нейтральной поверхности, а материал над ней растянут тоже пропорционально расстоянию от нейтральной поверхности. Таким образом, продольное удлинение l пропорционально высоте у. Константа пропорциональности равна просто длине l, деленной на радиус кривизны балки (см. фиг. 38.12):
l/l=y/R.
Так что напряжение, т. е. сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске вблизи у, тоже пропорциональна расстоянию от нейтральной поверхности
Теперь рассмотрим те силы, которые привели бы к подобной деформации. Силы, действующие на маленький отрезок, изображенный на фиг. 38.12, показаны на том же рисунке. Если мы возьмем любое поперечное сечение, то действующие на нем силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхности и в другую — ниже ее. Получается пара сил, которая создает «изгибающий момент», под которым мы понимаем момент силы относительно нейтральной линии. Интегрируя произведение силы на расстояние от нейтральной поверхности, можно вычислить полный момент на одной из граней отрезка фиг. 38.12:
Согласно (38.34), dF=Y(y/R)dA, так что
Но интеграл от y2dA можно назвать «моментом инерции» геометрического поперечного сечения относительно горизонтальной оси, проходящей через его «центр масс»; мы будем обозначать его через I, т. е.
Уравнение (38.36) дает нам соотношение между изгибающим моментом и кривизной балки 1/R. «Жесткость» балки пропорциональна Y и моменту инерции I. Другими словами, если вы хотите какую-то балку, скажем из алюминия, сделать как можно жестче, то вы должны как можно больше вещества поместить как можно дальше от оси, относительно которой берется момент инерции. Но этого нельзя доводить до предела, ибо тогда балка не будет искривляться так, как мы предположили: она согнется или скрутится и снова станет слабее. Вот почему каркасные балки делают в форме буквы I или Н (фиг. 38.13).
Фиг. 38.13. Двутавровая балка.
В качестве примера применения нашего уравнения (38.36) для балки вычислим отклонение консольной балки под действием сосредоточенной силы W, действующей на ее свободный конец (фиг. 38.14).
Фиг. 38.14. Консольная балка с нагрузкой на конце.
(Консольная балка закреплена одним концом, который вмурован в стенку.) Какая же тогда будет форма балки? Обозначим отклонение на расстоянии х от закрепленного конца через z; мы хотим найти z(x). Будем вычислять только малые отклонения. Как вы знаете из курса математики, кривизна 1/R любой кривой z(x) задается выражением
Нас интересуют только малые изгибы (обычная вещь в инженерных конструкциях), поэтому квадратом производной (dz/dx)2 можно пренебречь по сравнению с единицей и считать
Нам нужно еще знать изгибающий момент . Он является функцией от х, так как в любом поперечном сечении он равен моменту относительно нейтральной оси. Весом самой балки пренебрежем и будем учитывать только силу W, действующую вниз на свободный ее конец. (Если хотите, можете сами учесть ее вес.) При этом изгибающий момент на расстоянии х равен
ибо это и есть момент сил относительно точки х, с которым действует груз W, т. е. груз, который должен поддерживать балку. Получаем
или
Это уравнение можно проинтегрировать без всяких фокусов и получить
воспользовавшись предварительно нашим предположением, что z(0)=0 и что dz/dx в точке x=0 тоже равно нулю. Это и есть граничные условия. А отклонение конца будет
т, е. отклонение возрастает пропорционально кубу длины балки. При выводе нашей приближенной теории мы предполагали, что при изгибании поперечное сечение бруска не изменяется. Когда толщина бруска мала по сравнению с радиусом кривизны, поперечное сечение изменяется очень мало и все отлично. Однако в общем случае этим эффектом пренебречь нельзя — согните пальцами канцелярскую резинку и вы сами убедитесь в этом. Если первоначально поперечное сечение было прямоугольным, то, согнув резинку, вы увидите, как она выпирает у основания (фиг. 38.15).
Фиг. 38.15. Согнутая резинка (а) и ее поперечное сечение (б).
Это получается потому, что, согласно отношению Пуассона, при сжатии основания материал «раздается» вбок. Резинку очень легко согнуть или растянуть, но она несколько напоминает жидкость в том отношении, что изменить ее объем очень трудно. Это и сказывается при сгибании резинки. Для несжимаемых материалов отношение Пуассона было бы точно равно 1/2, для резинки те оно близко к этому числу.