§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электро­магнитные волны могут существовать в диэлектрическом ве­ществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах,

нет. Таким образом, мы возьмем =-•Р и j=дP/дt . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

X(XE)=-(д/дt)XB.

Используя затем векторное тождество

X(XE) = (•E)-²E и подставляя выражение для XB из (32.19б), получаем

Используя уравнение (32.19а) для •Е, находим

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу­чили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим по­ляризацию Р.

Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как еⁱ(^t-kz). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следую­щим образом:

E_x=E₀e^i(t-kz). (32.21)

Вы знаете, что любая функция от (z-vt) представляет вол­ну, бегущую со скоростью v. Показатель экспоненты в выраже­нии (32.21) можно переписать в виде

-ik[z-(/k)t],

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая ско­рость которой равна

v_фаз=/k.

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы

v_фаз=c/n.

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Ex=E₀e^i(t-nz/c).

Таким образом, показатель n можно определить, если мы най­дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

n=kc/. (32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Р не изменяется с изменением коор­динаты х, поэтому •P=0 и мы сразу же избавляемся от пер­вого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р_х будет изме­няться как е^it и d²P_x/dt²= -²P_x. Лапласиан же в уравне­нии (32.20) превращается просто в д²E_x/dz²=-k2Е_x, так что в результате получаем

Теперь на минуту предположим, что раз Е изменяется си­нусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположе­нию и обсудим его.) Таким образом, пишем

P_x=₀NE_x.

При этом Е_х выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

k²=²/c²(1+N). (32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравне­ниям поля. Использование же выражения (32.22) для показате­ля n дает

n² = l+N. (32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для пока­зателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли урав­нение (31.19), которое тогда имело вид

Формула (32.25) после подстановки  из (32.6) дает

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член i, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилля­торах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n² и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель ¹/₂. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n² равен единице плюс некое малое число, т. е. n²=1+. При этом условии мы можем написать, что n=(1+)l+/2, и оба выра­жения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш но­вый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поля­ризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Е_х. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е_х. Анало­гичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/3₀. (Не за­будьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае куби­ческого кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в вол­не, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

Именно это локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следую­щим образом:

Р =₀NЕ_лок. (32.29)

Подставляя теперь Е_лок из формулы (32.28), находим

или

Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорцио­нальна Е (для синусоидального поля). Однако константа про­порциональности будет уже ₀/N/[1-(N/3)], а не ₀Nallfa, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

Более удобно переписать это в виде

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. По­скольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимо­действуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцил­ляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень боль­шим. Таким образом, все ₀ и  твердого вещества будут дру­гими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что

Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная  будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточ­ности приближения локального поля в упорядоченных кри­сталлах, т. е. выражения (32.28) — эффекты, которые мы обсуж­дали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через n_j число атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:

где каждая _j будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя прелом­ления. Величина 3(n²-1)/(n²+2) задается комплексной функ­цией частоты, каковой является средняя атомная поляризуе­мость (). Точное вычисление () (т. е. нахождение f_k, _k и _0k) для плотного вещества — одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.