Множество жулиа

Удивительно, но множества Жулиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жулиа это "если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные?" Сначала посмотрите на картинки множества Жулиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жулиа. При рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируются различные изображения. Это применимо только ко множеству Жулиа. Рис. г. Множество Жулиа

Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта - это, на самом деле, множество фракталов Жулиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жулиа. Множества Жулиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении

Z=Z^І+C.

Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жулиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жулиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.

Понятие «фрактал» неразрывно связано с понятием хаос.

Хаос возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по-разному. Хаос — это отсутствие предсказуемости.

Фракталы определяют структуру хаоса. Фракталы, по существу, являются новым языком, дающим описание форм хаоса, они позволяют анализировать тонкую структуру хаоса и даже обнаружить в нем проявления порядка. Тонкая структура фрактала может быть следствием и причиной сложного хаотического поведения.

Нa фазовой плоскости такому поведению соответствует замкнутая кривая, называемая аттрактором (от английского глагола to attract - притягивать) - множество траекторий, характеризующих установившийся процесс. В случае нелинейного маятника могут возникнуть сложные, непериодические колебания, когда траектория на фазовой плоскости не замкнется за сколь угодно долгое время. При этом поведение детерминированной системы будет внешне напоминать совершенно случайный процесс — это и есть явление динамического или детерминированного хаоса. Образ хаоса в фазовом пространстве — хаотический аттрактор — имеет очень сложную структуру: это фрактал. В силу необычности свойств его называют также странным аттрактором.

Структура определяет поведение. Фрагментарная, фрактальная природа ежедневной реальности остается за пределами нашего сознания. Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса.

Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, и действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами - силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются

• точечным аттрактором,

• циклическим аттрактором,

• аттрактором торас и

• странным аттрактором.

Эти четыре аттрактора формируют основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения рынка.

Точечный аттрактор - это простейший способ привнести порядок в хаос. Это единственное состояние, к которому стремится система в общем случае при бесконечном времени.

Циклический аттрактор – характеризуется движением взад-вперед, подобно маятнику или циклическому магниту. Он притягивает, затем отталкивает, затем опять притягивает и т. д.

Такого рода аттрактор характеризует, например, рынок, заключенный в коридоре, где цена движется вверх и вниз в определенном диапазоне в течение некоторого промежутка времени. Этот аттрактор более сложен, чем точечный аттрактор и является основной структурой для более сложного поведения. Одна деятельность автоматически ведет к другой в повторяющемся порядке. В природе его можно наблюдать на ряде примеров, например, в системах «хищник — добыча», где размер популяции соответствующих хищников или их жертв увеличивается и уменьшается в обратном соотношении. На рынке зерна это явление носит годичный характер. Один год, для которого были характерны высокие цены, порождает увеличение посевных площадей следующей весной, что, в свою очередь, приводит к низким ценам. Затем фермеры уменьшают посевные площади, чтобы добиться более высоких цен.

Аттрактор торос - третий, более сложный, вид аттрактора, характеризуется сложной циркуляцией, которая повторяет себя по мере движения вперед.

По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор торас вводит большую степень беспорядочности и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот.

Его основная характеристика - это повторяющееся действие. Он имеет тенденцию создавать что-то вроде беспорядочного гомеостазиса, подобно тому, как популяция насекомых влияет на популяцию лягушек. Подобные явления можно наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Странный аттрактор — самоорганизующий. Это место рождения свободы и понимания, как в действительности работает рынок. То, что поверхностный взгляд воспринимает как абсолютный хаос, к котором не заметно никакого порядка, имеет определенный порядок, базирующийся на странном аттракторе, когда наблюдение ведется из четвертого измерения.

Характеристикой странного аттрактора выступает чувствительность к начальным условиям, которая иногда называется «эффект бабочки». Малейшее отклонение от изначальных условий может привести к огромным различиям в результате.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каковы причины появления синергетики и ее частных направлений?

1. Сформулируйте основные положения синергетики.

2. В чем различие системного и синергетического подходов к исследованию сложных систем?

3. Дайте характеристику идей И. Пригожина, Н. Моисеева, Л. Курдюмова, Г. Хакена.

2. В чем различия и общность подходов идей различных школ?