Занятие 4

Тема: ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

п.1. Связь между компонентами тензора с различными строениями индексов.

Задача 1. Показать, что если компоненты метрического тензора, то компоненты тензора преобразуются в компоненты со смешанным строением индексов по формуле:

Решение. Покажем, что с лева и с права стоят компоненты одного и того же тензора. Образуем линейные комбинации:

1) =

Поэтому, если верно, то должны получить тот же тензор

2) = = = =

Требуемое показано. Задача 1 – пример «жонглирования» индексами.

Задача 2. Матрица компонент тензора 2-го ранга имеет вид:

, метрическая матрица () равна

. Определить матрицу компонент .

Решение. Осуществив «жонглирования» индексами, имеем

Порядок индексов матрицы () несущественен. В результате произведения матриц находим искомую:

==()

Матрица определяет компоненты тензора в базисе

Задача 3. Представить все формы записи тензоров 3-го ранга, используя тензорные произведения 3-х базисных векторов.

Решение.

======

== .

п.2. Тензорное (внешнее) произведение тензоров есть тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей, а компоненты произведению компонент сомножителей. В частном случае диада - тензорное произведение двух векторов.

Пусть =, . Тензорное произведение =- тензор 5-го ранга.

Задача 4. Представить различные формы записи тензорного произведения вектора и тензора второго ранга

Решение.

======

===.

п.3. Сложение тензоров определяется только для тензоров одной валентности; компоненты суммы определяются как сумма компонент слагаемых с одинаковым строением индексов.

Задача 5. Показать, что если и компоненты тензора, то комплекс + не компонента тензора.

Решение. Используя правила преобразования компонент тензора. Получим

+=+

-это противоречит правилу преобразования компонент тензора.

п.4. Скалярное произведение тензоров вычисляется следующим образом:

==()==

=.

Скалярное произведение тензоров – тензор, ранг которого меньше суммы рангов сомножителей на два.

Задача 6. Доказать, что =, где =.

Решение.

====

п.5. Двойное скалярное произведение вычисляется следующим образом:

:=:=()()==

Следом тензора называют двойное скалярное произведение тензора и метрического тензора. Обозначение следа:

Sp= tr=: .

Дополнительные задачи:

1. Найти выражение следа тензора второго ранга через его компоненты.

2. Записать различные формы представления скалярного произведения 2-х тензоров 2-го ранга.

3. Доказать, что ==

4. По определению степени тензора =, =, Выразить компоненты , через компоненты тензора второго ранга.

5. Вычислить :, - тензор 2-го ранга.

6. Доказать, что := :

7. Вычислить Sp, Sp, тензор 2-го ранга.

Решение.

1. Sp= tr=:==.

2. Аналогично п.3.

3. Аналогично Задаче 6, доказываем = и следовательно ==.

4. Так как тензор второго ранга, следовательно, -тензор второго ранга, аналогично дополнительной задаче 2.

5. Аналогично :,

:=()()=…

6. Воспользуемся определением следа тензора Sp=:.

7. Так как тензор второго ранга, следовательно, ,-тензора второго ранга. Используя дополнительное задание 4 и определение Sp находится Sp, Sp.

План занятия.

8 минут – проверка домашнего задания

Решение задач у доски:

Пояснение п.1 (2 минут)

Пояснение п.2 (2 минут)

задача 1 (10 минут)

задача 3 (5 минут)

Пояснение п.2 (2 минут)

задача 4 (5 минут)

Пояснение п.3 (1 минут)

задача 5 (5 минут)

Пояснение п.4 (2 минут)

задача 6 (5 минут)

Пояснение п.5 (3 минут)

Решение дополнительных задач:

задача 1 (10 минут)

задача 2 (10 минут)

задача 4 (10 минут)

Домашнее задание:

задача 2

Дополнительные задачи 3,5,6,7.

Занятие 5

Тема: СВЕРТКА. АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ И СИММЕТРИРОВАНИЕ,ТЕНЗОРНАЯ

ПОВЕРХНОСТЬ. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ СИММЕТ-РИЧНОГО ТЕНЗОРА 2-го РАНГА

п. 1. Обсуждение дополнительных задач Занятия 4 Решение.

Осуществляя "жонглирование" индексами, получим:

3. Метрический тензор выполняет роль своеобразной"единицы": Действительно,

(см.также задачу 6 занятия 4).

4. Вычисление компонент квадрата и куба тензора 2-го ранга требуется для нахождения его инвариантов. Имеем:

Степени тензора 2-го ранга-тензора того же ранга.

5. Если - тензор 2-го ранга, то - скаляр

(инвариант). Действительно,

б. Аналогично 5 имеем

1. Учитывая предыдущие упражнения, сразу записываем

п.2. Свертка - операция, выполняемая над тензором, компоненты которого имеют по крайней мере один но- и один контравариантный индекс. Свертка тензора по и

это переход к тензору , по и - переход

к тензору . Свертка двух тензоров есть свертка их

тензорного произведения. Например, Свертка по индексам и дает тензор

Задача 1. Показать, что свертка тензора

по индексам и равна _Решение. По определению свертка данного тензора есть вектор . С другой стороны,

п.3. Альтернирование и симметрирование тензора- выделение его антисимметричной и симметричной частей. Тензор называется симметрич­ным (антисимметричным) по индексам и , если компоненты его не меняются (изменяют только знак) при перестановке и ; для тензоров 2-го- ранга не имеет смысла указывать, по каким индек­сам симметрия или антисимметрия.

Тождество;

лежит в основе указанных операций для тензоров 2-го ранга.

Задача 2. Матрица компонент тензора имеет вид:

Определить матрицы компонент симметричной и антисимметричной частей тензора.

Решение. Используя тождество, получим:

в правой части равенства находятся искомые матрицы.

Задача 3. Доказать, что свертка симметричного тензора и антисимметричного равна нулю. Рассмотреть случай тензоров 2-го ранга.

Решение. Пусть -симметричный,

антисимметричный тензоры.

Свертка тензорного произ­ведения по обоим индексам равна

(понет суммирования).

п. 4. Тензорная поверхность симметричного тензора 2-го ран­га в данной точке определяется уравнением:

Квадратичная форма представляет собой сверт-

ку симметричных тензоров и . Здесь

- компонента бесконечного малого вектора в данной точке.

Конец этого вектора лежит на тензорной поверхности - поверхнос­ти 2-гo порядка. В осях, соответствующих главным направлениям, уравнение поверхности приводится к каноническому виду. Единич­ный вектор , определяющий главное направление, удовлетворя­ет соотношению:

Задача 4. Показать, что контравариантные компоненты векто­ра удовлетворяют системе уравнений:

Решение. Имеем

отсюда следует искомая система однородных линейных алгебраичес­ких уравнений.

Условие нетривиальности решения этой системы определяет ха­рактеристическое уравнение

Решением последнего уравнения являются главные значения тензора

. Каждому значению соответствует свое

нетривиальное решение системы Компоненты определяют три главных направления тензора.

Задача 5. Найти главные значения и главные направления тензора в точке, матрица компонент которого

имеет виц:

Решение. Характеристическое уравнение имеет в данном слу­чае виц:

Корни этого уравнения определяют три главных значения ,

Компоненты , соответствую-

щие , определяются из системы;

Первые два уравнения имеют лишь тривиальное ранение, так как детерминант этой однородной системы отличен от нуля (равен 3):

Компоненты , соответствующие , опреде-

ляются из системы:

Получаем , . Компоненты

соответствующие , определяются из системы;

Получаем

Если определен компонентами в декартовой систе-

ме координат, а вектор единичный, то

Вектора главных направлений имеют следующее разложение по нап­равлениям ортов :

Дополнительные задачи.

1. Установить, го каким индексам симметричны или антисим -метричны тензоры, компоненты которых удовлетворяют условиям

2. Доказать, что если тензор с компонентами сим-

метричен по индексам и , антисимметричен по и ,

то он равен нулю.

3.Зная матрицу (см.задачу 5), вычислить

(ответ 3; 21; 73). 4. Характеристическое уравнение можно представить в форме:

где - скалярные инварианты тензора 2-го ранга, имеющие

представления;

Зная матрицу (см.задачу 5), проверить справедливость

этих представлений.

5. Показать, что след антисимметричной части тензора 2-го ранга равен нулю.

6. Найти главные значения и главные направления

З а н я т и е 6 Тема. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА И ТЕНЗОРА ПО КООРДИНАТЕ

В общем случае при переходе от точки к точке изменяются и компоненты вектора (тензора), и величины, и направления базисных векторов.

Задача 1. Исходя из введения коэффициентов связности в равенстве, доказать формулу дифферен-

цирования вектора по координате:

Решение. Дифференцируем инвариантные представления век­тора . Имеем:

переобозначая во втором слагаемом немые индексы (вместо бе­рем , вместо берем ), получаем искомое.

Задача 2. Доказать формулу представления ковариантной производной от ковариантной компоненты вектора

Решение. Пусть . Тогда

Разложим в том же ба8исе, что и

Коэффициенты выражаются черев коэффициенты связности.

Продифференцируем скалярное произведение . С другой стороны,

В итоге

где

Задача 3. Показать, что , где - контрава-

риантная компонента вектора есть компонента тензора.

Решение. Образуем свертку по : В новой системе координат левая часть равенства равна:

т.е. представление остается инвариантным и одновременно рас­кладываемым в базисе . Следовательно, компоненты тензора.

Задача 4. Исходя из определения коэффициентов связности (см.задачу 1), вывести формулу дифференцирования компоненты тен­зора 2-го ранга, контравариантной по индексам, по координате

Решение.

Коэффициенты связности выражаются черев компоненты метрическо­го тензора и их производные:

. I

Задача 5. Доказать эту формулу.

Решение. Запишем выражение производных от скалярных функций.

В эвклидовом пространстве можно ввести вектор , поэтому

В римановом пространстве , Складывая выражение

производных, получим:

Далее, доумножая левую и правую части на и образуя сверт-

ку по (неверно: сокращая на ), получим искомую

формулу.

Задача б. Зная компоненты матриц и,

найти выражения коэффициентов в случае сферической си-

стемы координат.

Решение. В данном случае

Обе матрицы с нулевыми недиагональными членами, с компонентами, не зависящими от . Поэтому

Присваиваем Ответ.

Дополнительные задачи.

1. Найти выражение ковариантной производной от компоненты тензора 2-го ранга со смешанным строением индексов.

2. Доказать формулу:

3. Доказать формулу:

4. Найти в цилиндрической системе координат.

5. Вычислить ковариантные производные от компонент вектора в сферической системе координат:

3 а н я т и е 7.

Тема: ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГРАДИЕНТ, ДИВЕРГЕНЦИЯ). ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА

Представление дифференциальных операторов осуществляется с помощью символического оператора Гамильтона (набла), где

- обозначение ковариантной производной. п.1. Оператор "градиент" ( ),

Последнее выражение - полиадное произведение. Задача 1. Пусть - скалярная функция

координат. Показать, что - вектор, и определить его

компоненты.

Решение.

- ковариантные компоненты вектора Задача 2. Найти компоненты в декартовой

системе координат ; здесь

Ответ.

Задача 3. Тот же вопрос в случае сферической системы ко­ординат

Решение. Так как скалярная функция, то ковариантная

производная от совпадает с частной, при

ковариантные компоненты имеют вид:

п.2. Оператор "дивергенция" Применяется к тензорным величинам ранга больше нуля. Задача 4. Выразить - вектор, в декартовых

координатах. Решение.

В указанных координатах коэффициенты связности равны нулю, по­этому

Задача 5. Выразить , - вектор, в случае

произвольной системы координат. Решение.

Сумма коэффициентов вычисляется по формуле

Вейла:

где

Задача 6. Проверить формулу Вейла в случае ортогональной системы координат.

Решение. В указанном случае имеем:

но в случае ортогональной системы(суммирования

по нет).

Поэтому

Но в случае той же системы равно

Требуемое показано.

Задача 7. Доказать формулу; компоненты вектора.

Решение.

"Немые" "индексы можно обозначить любыми буквами, переобозначим все черев , получим искомое.

Задача 8. Выразить через переменные

сферической система координат.

Решение. В случае указанной системы

п.3. Физические компоненты вектора в точке. равны

ортогональным проекциям вектора на направление касательных к координатным линиям, проходящим через заданную точку. Термин применяется линь в случае ортогональной системы координат. Физи­ческие компоненты, вообще говоря, отличны от контравариантных , их связь определяется выражением:

(суммирования по в правой части нет).

Задача 9. Вывести формулу связи физических и контравариант­ных компонент вектора.

Решение. - орта, направленные по

базисным векторам ортогональной системы координат.

Так как

(сумииров. по нет). Физические компоненты векторов в сфе-

рической системе координат обозначают

Задача 10. Выразить через физические ком-

поненты вектора сферической системы координат.

Решение. В рассматриваемом случае

поэтому

Дополнительные задачи.

1. Записать оператор черев физические компо-

ненты вектора в цилиндрической системе координат.

2. Записать физические компоненты в сфери -

ческой системе координат.

Занятие 8

Тема. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ЛАПЛАСИАН, РОТОР, МАТЕРИАЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ )

П.1. Лапласиан. .

Задача 1. Записать выражение , где – скалярная функция, в ортогональной криволинейной системе.

Решение. По определению . Контравариантная компонента связана с ковариантной соотношением:

или в ортогональной системе координат

(суммирования по нет). Используя формулу Вейла при представлении дивергенции, получаем:

Задача 2. Записать выражение лапласиана в сферической системе координат (рис. 1).

Решение.

П.2. Векторное произведение векторов и есть псевдовектор .

,

где

Запись компонентов упрощается с введением псевдотензора Леви-Чивиты, компоненты которого равны:

Задача 3. Показать справедливость представления :

Решение.

Что требовалось показать.

В декартовой системе координат , соответственно

Задача 4. Записать компоненты вектора в декартовой системе координат.

Ответ.

Выражения получаются друг из друга циклической перестановкой индексов .

П.3. Оператор «ротор ( )», . Если – вектор, то , .

Задача 5. Показать, что компоненты , где – вектор, не зависят от коэффициентов связности.

Решение.

при (справедливо в римановом пространстве); требуемое доказано.

П.4. Оператор материального дифференцирования по времени имеет вид:

,

примененный к вектору , имеет вид:

.

Контравариантные компоненты вектора равны

.

Задача 6. Записать компоненты вектора в сферической системе координат.

Решение. Используя решение задачи 6 (занятие 7), получим:

Дополнительные задачи.

1. Записать выражение лапласиана в цилиндрической системе координат.

Решение.

В ортогональных координатах

В случае цилиндрической системы координат

Лапласиан запишется в виде

2. Показать справедливость представления ковариантных компонент векторного произведения

Решение.

Что требовалось показать.

3. Записать компоненты , – вектор в декартовых координатах.

Решение.

В ортогональных координатах

В случае декартовой системы координат

Ответ.

План занятия

Время	Длительность, мин.	Название мероприятия
00:00 – 00:05	5	Учет в журнале отсутствующих, быстрая проверка наличия письменного решения домашнего задания.
00:05 – 00:15	10	Разбор на доске не решенных упражнений из домашнего задания.
00:15 – 00:25	10	Введение в новую тему. П.1. Определение лапласиана. Разбор задачи №1 и №2.
00:25 – 00:45	20	П.2. Определение векторного произведения. Задачи № 3 и №4 ввиду их легкости рекомендуется решить студентам у доски.
00:45 – 00:55	10	П.3. Определение оператора «ротор». Решение задачи №5.
00:55 – 01:15	20	П.4. Определение материальной производной по времени. Задача №6 рекомендуется для самостоятельного решения студентами на занятии.
01:15 – 01:20	5	Задание домашней работы: решить дополнительные задачи занятия.

З а н я т и е 9

Тема. ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ПОНЯТИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

п.1. Лагранжева (материальная) система координат свя-

зана с деформирующейся средой, эйлерова (лабораторная) система координат связана с наблюдателен за сплошной средой. Если

какое-либо свойство среды описано с помощью переменных Лагран-ха (Эйлера), ) , то имеем со-

ответственно лагранжево (эйлерово) описание.

Задача 1. Какое да двух соотношений дает эйлерово описа­ние преобразования:

1) 2)

Ответ. Первое - эйлерово, второе - дагранжево. Задача 2. Дано описание движения сплошной среды ( конти-нуума)

а) с какой точки зрения описано движение, Ответ. Лагранжево описание.

в) убедиться, что лагранжевы координаты точек сплошной среды совпадают со значениями эйлеровых координат в началаный момент времени.

Ответ. При

с) Выразить лагранжевы координаты через эйлеровы. Ответ.

Задача 3. Описание движения сплошной среды, занимавшей первоначально куб со стороной, равной единице, дается выраже­ниями задачи 2.

а) какое движение совершает точка А (рис.4).

Решение. При координаты точки равны

С течением времени лагран-жевы координаты точки не меняются, эти координаты - своеобраз -ная "метка" точки (изменяется вид лагранжевых систем координат, связанных с деформирующейся средой). Эйлеровы координаты точки А будут при этом равны;

Эйлеровы (лабораторные) координатные линии с течением времени не изменяются (оставаясь декартовыми). Точка А будет дви­гаться по оси по закону

в) Изучить движение точки (рис.4).

Решение. При для точки ,

Движение точки

в системе описывается уравнениями:

Точка В будет двигаться в плоскости верхней грани куба по траектории с уравнением:

Так как , то точки, лежавшие первоначально в плоскос-

ти, параллельной , остаются в ней с течением времени.

Такое движение сплошной среда называется деформацией чистого сдвига.

п.2. Материальная (полная, индивидуальная, субстанционная) производная величины ( ) выражает "скорость" изменения

С ) в данной точке, характеризующейся постоянными лаграшсе-выми координатами.

Задача 4. Определить компоненты вектора скорости точки сплошной среды как функции а) лагранжевых, б) эйлеровых координат и времени. Движение сплошной среды ведано соотноше­ниями эадачи 2.

Решение. а)

б) учитывая эйлерово описание движения, выразим че-

рез и .В итоге имеем:

Дополнительные задачи.

1. Дано поле скоростей

Найти компоненты ускорения в эйлеровых и лагранже-

вых переменных. Ответ.

2. Движение континуума задано уравнениями:

Доказать, что траектории всех частиц - окружности, а величина скорости постоянна. Определить связь между и и лагран-

жевымикоординатами и , совпадающими с

ЛИТЕРАТУРА