§ 8. Елементи спеціальної теорії відносності
Перетворення Лоренца:
(1.106)
(1.107)
, (1.108)
де
— швидкість відносного руху інерціальних
систем відліку;
с — швидкість
світла у вакуумі;
. (1.109)
Тривалість
події в рухомій системі відліку
, (1.110)
де
— тривалість події в нерухомій системі
відліку.
Скорочення довжини рухомого тіла
, (1.111)
де
— довжина
рухомого тіла;
— власна
довжина
тіла.
Релятивістський закон додавання швидкостей
, (1.112)
де
— швидкість тіла в нерухомій системі
(абсолютна швидкість);
— швидкість
тіла в рухомій системі (відносна
швидкість).
Релятивістська маса і імпульс такі:
, (1.113)
де
— швидкість тіла у вибраній системі
відліку;
— маса тіла
в нерухомому стані у вибраній системі
відліку (маса спокою).
Другий закон Ньютона в релятивістській формі:
. (1.114)
Кінетична енергія тіла
, (1.115)
або якщо ввести релятивістську масу
(1.116)
Повна релятивістська енергія
(1.117)
§ 9-11. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ
Рівняння вільних незатухаючих коливань і його розв'язок
,
(1.118)
де
— зміщення;
— амплітуда;
— власна частота коливань;
— початкова фаза.
Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання,
(1.119)
. (1.120)
Рівняння затухаючих коливань і його розв'язок
(1.121)
(1.122)
де
— коефіцієнт затухання;
- коефіцієнт опору середовища;
- маса тіла;
— циклічна частота коливань;
- частота незатухаючих коливань;
— амплітуда
затухаючих коливань.
Логарифмічний декремент затухання
. (1.123)
Добротність
. (1.124)
Рівняння вимушених коливань і його частинний розв'язок
; (1.125)
,
де
-
— амплітуда коливань;
- початкова фаза;
— зовнішня сила.
Резонансні значення циклічної частоти і амплітуди
.
(1.126)
Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Амплітуда результуючого коливання
.
(1.127)
Початкова фаза результуючого коливання
. (1.128)
Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях,
(1.129)
а)
,
якщо різниця фаз
;
б)
,
якщо
;
в)
,
якщо
.
Період малих коливань математичного маятника
, (1.130)
де
- довжина маятника;
- прискорення вільного падіння.
Період коливань тіла, підвішеного на пружині,
, (1.131)
де
— маса тіла;
— жорсткість пружини.
Період малих коливань фізичного маятника
, (1.132)
де
= зведена довжина фізичного маятника;
—момент інерції маятника відносно осі
коливання;
— маса маятника;
— відстань
від центра мас до осі коливання.
Повна
енергія матеріальної точки масою
,
яка здійснює
гармонічні коливання
. (1.133)
Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі
, (1.134)
де
—зміщення довільної точки середовища
на відстані
в момент часу
;
—
довжина хвилі
— швидкість поширення коливань у
середовищі;
— період;
— хвильове
число.
Зв’язок між різницею фаз двох точок біжучої хвилі та різницею ходу (різницею відстаней їх від джерела коливань)
. (1.134а)
Швидкість поширення поздовжніх хвиль у пружному середовищі
, (1.135)
де
— модуль Юнга;
— густина середовища.
Швидкість поширення поперечних хвиль
, (1.136)
де
— модуль зсуву.
Кінетична
енергія хвильового руху в об'ємі
. (1.137)
Потенціальна енергія хвильового руху
. (1.138)
Повна енергія хвильового руху
. (1.139)
Середнє значення об'ємної густини енергії за часом
. (1.140)
Потік енергії хвилі
, (1.141)
де
— поверхня, через яку переноситься
енергія хвилі;
—
швидкість хвилі.
Середнє значення густини потоку енергії хвилі (вектор Умова)
. (1.142)
Рівень гучності звуку, дБ,
, (1.143)
де
— інтенсивність звуку певної частоти;
— інтенсивність на порозі чутності.
Ефект Доплера
, (1.144)
де
— швидкість
поширення звуку;
—
швидкість руху приймача;
— швидкість
руху джерела звуку;
— частота
від джерела. Верхні знаки беруться при
зближенні джерела і приймача, нижні —
при їх віддаленні.