§ 2. Динаміка матеріальної точки. Закони ньютона

Основний закон динаміки (другий закон Ньютона) для тіл із сталою масою

. (1.29)

Другий закон Ньютона в загальній формі

, (1.30)

де = — імпульс точки; — результуюча зовнішня сила.

Якщо на тіло діють декілька сил, то основне рівняння динаміки у векторній формі має вигляд

. (1.31)

У проекціях на координатні осі

(1.32)

Радіус-вектор, який визначає положення центра мас системи матеріальних точок у просторі відносно будь якої точки 0:

, (1.33)

де - маса -частинці, - її радіус–вектор с початком у точці 0.

Імпульс системи матеріальних точок дорівнює сумі імпульсів її окремих точок:

. (1.34)

§ 3. Робота, потужність, енергія

Робота сталої сили ( = const)

, (1.35)

де — вектор переміщення; — кут між напрямами дії сили і переміщення.

При змінній силі, тобто , переміщення розбивають на елементарні переміщення такої величини, щоб в межах цього переміщення силу можна було вважати сталою. Тоді елементарна робота сили на переміщенні буде

. (1.36)

Повна робота, яка виконується змінною силою при переміщенні точки з положення 1 в положення 2,

. (1.37)

Середня потужність сили

. (1.38)

Миттєва потужність, тобто потужність у даний момент часу,

. (1.39)

Зв'язок потужності з діючою силою і швидкістю руху

, (1.40)

де кут між силою і швидкістю дорівнює .

Кінетична енергія матеріальної точки

, (1.41)

де — маса точки; — швидкість руху точки.

Приріст кінетичної енергії матеріальної точки

, (1.42)

де — робота результуючої всіх сил, що діють на матеріальну точку.

Потенціальна енергія тіла масою , піднятого над поверхнею планети на висоту

, (1.43)

де - прискорення вільного падіння на цій планеті.

Потенціальна енергія пружно деформованого тіла

, (1.44)

де - коефіцієнт жорсткості тіла; - величина пружної деформації.

Зменшення потенціальної енергії матеріальної точки дорівнює роботі сил поля:

. (1.45)

Приріст повної механічної енергії матеріальної точки в потенціальному полі

, (1.46)

де — алгебраїчна сума робіт всіх сторонніх сил, що діють на тіло.

Закон зміни імпульсу системи

, (1.47)

де — імпульс системи; — результуюча всіх зовнішніх сил.

У замкненій системі повний імпульс не змінюється (закон збереження імпульсу):

. (1.48)

Момент імпульсу матеріальної точки відносно деякого центра О

, (1.49)

де — радіус-вектор, проведений з центра О до розглядуваної матеріальної точки;

— імпульс матеріальної точки.

Закон зміни моменту імпульсу системи

, (1.50)

де — сумарний момент всіх зовнішніх сил.

Закон збереження моменту імпульсу замкнутої системи матеріальних точок

. (1.51)

Момент сили відносно деякої точки О

, (1.52)

де — радіус-вектор, проведений з точки О в точку прикладання сили . Векторний добуток цих векторів можна написати у вигляді

, (1.53)

звідки значення складової, наприклад по вісі , дорівнює .