Задачи к §2

Задача 1. Доказать, пользуясь определением бесконечно малой функции, справедливость следующих утверждений:

а) функция является бесконечно малой в точке ;

б) функция является бесконечно малой в точке ;

в) функция является бесконечно малой в точке .

Указание. В этих заданиях требуется установить такую зависимость между положительными числами и , которая обеспечивала бы выполнение неравенства для всех , удовлетворяющих неравенствам .

Решение.

а) Пусть , где . Тогда и, следовательно, . Полагаем и, воспользовавшись равносильностью всех приведенных неравенств, устанавливаем, что, если , то .

б) Пусть , где . Прологарифмировав это неравенство по основанию , получим или . При неравенство выполнено для всех . При с учетом получим . В этом случае полагаем . Вследствие равносильности всех приведенных неравенств получаем, что, если (или ), то .

в) Пусть . В силу неравенства устанавливаем справедливость неравенства . Полагаем , получаем, что для всех , удовлетворяющих неравенству , верна оценка .

Задача 2. Доказать, пользуясь определением бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функции, справедливость следующих утверждений:

а) функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке;

б) функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке;

в) функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке.

Указание. В задаче 2 требуется установить зависимость между числами и так, чтобы неравенство выполнялось для всех .

а) Неравенство равносильно неравенству , решение которого имеет вид:

Выберем

.

Тогда все значения , удовлетворяющие неравенству , будут удовлетворять одному из неравенств: или , из которого в силу соотношения следует, что . Поэтому для будет выполнено неравенство , следовательно .

б) Зададимся числом . Замечаем, что . Полагаем . Тогда для всех , удовлетворяющих условию , будет выполнено неравенство . Следовательно, .

в) Зададимся числом . Полагаем . Тогда для всех , удовлетворяющих условию , будет справедливо неравенство . Тогда получим оценку .

§ 3. Свойства бесконечно малых функций

Теорема 3.1. Пусть функции , заданы на множестве , и – точка сгущения этого множества. Если , – бесконечно малые в точке функции, то и их сумма также является бесконечно малой функцией в точке .

(Коротко: сумма двух бесконечно малых в точке функций также является бесконечно малой функцией в этой точке.)

Доказательство. Зададимся каким-либо произвольным числом , укажем по нему число . Для числа найдем такие числа ,, что будут справедливы утверждения:

, если ,

, если .

Пусть . Очевидно, что . Тогда при всех будут выполнены оба неравенства

,

.

Так как , то указано такое , что при всех для суммы будет выполнено

.

В силу произвольности теорема доказана.

Теорема 3.2. Пусть функции , заданы на множестве и бесконечно удаленная точка является предельной точкой множества . Если , – бесконечно малые в бесконечно удаленной точке функции, то и их сумма также является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функцией.

(Коротко: сумма двух бесконечно малых в бесконечно удаленной точке функций также является бесконечно малой функцией в бесконечно удаленной точке.)

Доказательство. Зададимся каким-либо произвольным числом , укажем по нему число . Для числа найдем такие числа ,, что будут справедливы соотношения:

, при всех ,

, при всех .

Пусть . Тогда при всех будут выполнены оба неравенства:

,

.

Указано такое , что для суммы этих функций при всех будет выполнено

.

В силу произвольности теорема доказана.

Теоремы 3.1, 3.2 могут быть обобщены на любое конечное число функций.

Следствие 3.1. Пусть функции , , …, заданы на множестве , а – точка сгущения этого множества. Если все функции , , …, являются бесконечно малыми в точке , то и их сумма также является бесконечно малой в точке .

(Коротко: сумма конечного числа бесконечно малых в точке функций также является бесконечно малой в этой точке функцией.)

Следствие 3.2. Пусть функции , , …, заданы на множестве , свойства которого описаны в теореме 3.2. Если все функции , , …, являются бесконечно малыми в бесконечно удаленной точке, то и их сумма также является бесконечно малой функцией в бесконечно удаленной точке.

(Коротко: сумма конечного числа бесконечно малых в бесконечно удаленной точке функций также является бесконечно малой в этой точке функцией.)

Доказательство. Следствия 3.1 и 3.2 доказываются последовательным применением теорем 3.1 и 3.2 соответственно раз.

Теорема 3.3. Пусть функции , заданы на множестве , и – точка сгущения этого множества. Пусть функция является бесконечно малой в точке , а функция локально ограничена в этой точке. Тогда их произведение является бесконечно малой в точке функцией.

Доказательство. Так как является бесконечно малой в точке , то для любого можно указать такое , что для всех будет выполнено неравенство . Так как является ограниченной в точке функцией, то существуют такие числа , , что для всех будет выполнено неравенство . Выберем произвольное число и вычислим , тогда для всех будет выполнено неравенство .

Пусть . Очевидно, что . Число таково, что для всех будет выполнено:

.

В силу произвольности доказано, что является бесконечно малой функцией.

Теорема 3.4. Пусть функции , заданы на множестве , свойства которого описаны в теореме 3.2. Если функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функцией, а является ограниченной в бесконечно удаленной точке функцией, то их произведение является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функцией.

Доказательство. Так как является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке, то для любого можно указать такое , что для всех будет выполнено неравенство . Так как является ограниченной в бесконечно удаленной точке функцией, то существуют такие числа , , что для всех выполнено . Выберем произвольное число и вычислим , тогда для всех , будет выполнено неравенство .

Пусть . Очевидно, что . Тогда для всех будет выполнено

.

В силу произвольности доказано, что является бесконечно малой функцией.

Следствие 3.3. Пусть функции , , …, заданы на множестве с точкой сгущения и являются бесконечно малыми в этой точке. Тогда их произведение является бесконечно малой в точке функцией.

(Коротко: произведение бесконечно малых в точке функций также является бесконечно малой в этой точке функцией.)

Доказательство. Из определения бесконечно малой в точке функции следует, что она локально ограничена в этой точке. Далее последовательно раз применяем теорему 3.3.

Следствие 3.4. Пусть функции , , …, заданы на множестве , свойства которого описаны в теореме 3.2. Если функции , , …, являются бесконечно малыми в бесконечно удаленной точке, то их произведение также является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функцией.

Доказательство. Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству следствия 3.3.

Пример 3.1. Функция является бесконечно малой функцией в точке как сумма двух бесконечно малых функций и . Заметим, что функция представляет собой произведение ограниченной функции на функцию , которая (как и функция ) согласно замечанию 2.3 является бесконечно малой в точке .

Пример 3.2. Функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функцией как сумма двух бесконечно малых в бесконечно удаленной точке функций (задача 2 а) к §2 и пример 2.4).

Пример 3.3. Функция является бесконечно малой в точке как произведение бесконечно малой в этой точке функции на функцию , локально ограниченную при .