§ 9. Непрерывность функции

Определение 9.1. Пусть функция имеет область задания , определена в точке и в некоторой окрестности этой точки (). Говорят, что функция непрерывна в точке , если существует и

.

Заметим, что в силу теоремы 6.1 все основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.

Из теоремы 6.2 вытекает

Теорема 9.1. Пусть функции и заданы на множестве и непрерывны в точке . Тогда в этой точке непрерывны функции

, и , если .

Обратимся теперь к сложной функции.

Теорема 9.2. Пусть функция задана на множестве , а функция задана на множестве , причем значения . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Зададимся произвольным числом и укажем такое число , что для любого , для которого будет выполнено условие . Поскольку непрерывна в точке , то для данного числа можно указать такое число , что для всех , для которых , будет выполнено условие . Тогда для всех , для которых , будет выполнено также условие . Теорема доказана.

Второе определение непрерывности

Вернемся к определению 9.1, согласно которому . Из определения 5.2 следует, что функция имеет в точке предел, равный , если разность является бесконечно малой в точке . Величину принято называть приращением аргумента в точке , а величину – приращением функции в этой точке. Таким образом, функция непрерывна в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции. На рис. 9.1 показаны приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции.

Рис. 9.1.

Точки разрыва

Определение 9.1 требует одновременного выполнения трех условий:

1) должна быть определена в точке , то есть должно существовать ;

2) в точке существует , то есть должны существовать и быть равными два односторонних предела ;

3) должно быть выполнено равенство .

Невыполнение какого-либо из этих условий приводит к нарушению непрерывности функции в точке. В этом случае говорят, что в данной точке функция терпит разрыв.

В технической литературе к точкам разрыва часто относят точки, в которых функция не определена, хотя она определена в некоторой проколотой окрестности такой точки.

Различают три типа разрывов.

I. Устранимый разрыв. Он возникает тогда, когда существует (то есть, ), но (или значение не определено).

Пример 9.1. Функция терпит устранимый разрыв в точке .

Заметим, что в случае устранимого разрыва можно определить функцию

Функция непрерывна в точке и всюду, кроме точки , совпадает с функцией .

II. Разрыв первого рода или скачок. Такой разрыв имеет место, когда односторонние пределы существуют и конечны, но

.

Например, функция (рис. 1.1) терпит разрыв первого рода при любом целочисленном значении .

III. Разрыв второго рода или бесконечный разрыв. Этот тип разрыва возникает тогда, когда хотя бы один из односторонних пределов функции в точке либо не существует, либо бесконечен.

Пример 9.2. Функция в точке терпит разрыв второго рода (см. рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Определение 9.2. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна во всех точках этого множества.