§ 2. Бесконечно малые функции

Определение 2.1. Открытый промежуток () называется -окрестностью точки . Если из этого промежутка исключить точку , то полученное множество называется проколотой -окрестностью точки . Интервалы , называются, соответственно, левой и правой -полуокрестностями точки .

При этом -окрестность точки обозначается через , а проколотая -окрестность точки – через .

Замечание 2.1. Принадлежность точки окрестности эквивалентна выполнению неравенства или двойного неравенства . Принадлежность точки проколотой окрестности эквивалентна двойному неравенству .

Определение 2.2. -окрестностью бесконечно удаленной точки () называется множество значений , удовлетворяющих неравенству , то есть

.

Определение 2.3. Точка называется точкой сгущения множества , если любая проколотая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества .

Бесконечно удаленная точка называется предельной точкой множества , если в любой ее -окрестности есть хотя бы одна точка множества .

Пример 2.1. Рассмотрим . Точка является для этого интервала точкой сгущения. Более того, все точки промежутка являются точками сгущения множества .

Замечание 2.2. Точка сгущения множества , как это ясно из примера 2.1, может ему и не принадлежать.

Определение 2.4. Пусть функция задана на множестве , а точка является точкой сгущения этого множества. Функция называется локально ограниченной в точке , если можно указать такие положительные числа и , что для всех справедливо неравенство

.

Определение 2.5. Пусть функция задана на множестве и бесконечно удаленная точка является предельной точкой множества . Функция называется ограниченной в бесконечно удаленной точке, если можно указать такие числа и , что для всех выполнено

.

Определение 2.6. Пусть функция задана на множестве и точка является точкой сгущения этого множества. Функция называется бесконечно малой в точке , если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех выполнено неравенство

.

Пример 2.2. Функция является бесконечно малой в точке . Действительно, зададим . Тогда, если , то (каково бы ни было число ).

Замечание 2.3. Несложно проверить, что при любом функция является бесконечно малой в точке . (Замечаем, что в качестве следует принять .)

На рис. 2.1 а), б) приведена геометрическая иллюстрация определения 2.6. Зададим некоторое положительное число . Построим симметричную относительно оси полосу шириной . Для выбранного числа найдем число такое, что при и график функции окажется внутри полосы (рис. 2.1 а)). Для любого такой промежуток всегда найдется. Это показано на рис. 2.1 б), где , .

а) б)

Рис. 2.1.

Определение 2.7. Пусть функция задана на множестве и бесконечно удаленная точка является предельной точкой множества . Функция называется бесконечно малой в бесконечно удаленной точке, если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех справедливо неравенство

.

На рис. 2.2 проиллюстрирован выбор по заданному числа для бесконечно малой в бесконечно удаленной точке функции .

Рис. 2.2.

Пример 2.3. Функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке. Действительно, для того, чтобы обеспечить выполнение неравенства , достаточно потребовать .

Пример 2.4. Функция при произвольном является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке. Зададим и укажем по нему . Тогда при всех выполнено .